ICPC2018 青岛站 F - 构造

ICPC2018 青岛站 F

有 \(n\) 个人，要进行 \(k\) 轮决斗。
每一轮比赛你需要将这 \(n\) 个人两两配对，代表这两个人之间要进行一场决斗。
对于任意两个人，在所有 k 轮比赛中最多只能决斗一次。
若存在四个人 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)，且 \(a\) 和 \(b\) 在第 \(i\) 轮决斗，\(c\) 和 \(d\) 在第 \(i\) 轮决斗，\(a\) 和 \(c\) 在第 j 轮决斗，那么 \(b\) 和 \(d\) 必须也在第 j 轮决斗。
构造一组方案，无解输出 Impossible。
\(1 ≤ n, k ≤ 1000\)，多测，\(∑n,∑k ≤ 5000\)

题解

听完才会。。感觉好nb

首先注意到 \(n\) 为奇数的时候只能进行 \(0\) 轮（没法匹配）

然后能进行的轮数只与 \(n\) 因子中的 \(2\) 个数就好了
比如 \(n=2^p*q,q=2*k+1\) 其中 \(p,k\in \mathbb N^+\) 可以拆成 \(q\) 个大小为 \(2^p\) 的组，宏观来说，如果 \(2^p\) 内都分配完无法再分配的时候，外面是奇数个组故停止

所以只需要分析 \(2^k\) 就好了
手玩一下 \(n=2,4,8\)，发现对应最大的 \(k\) 为 \(1,3,7\)
所以猜个当 \(n=2^p\) 时，\(k\) 最大为 \(2^p-1\)

证明可以考虑把一个划分的邻接矩阵画出来，发现只有上三角矩阵的左边部分（右下-左上对角线的左边部分）是有用的（剩下对称）
然后使用组合技巧就可以轻松求出

判断就是数二进制末尾0的个数就好了
构造的话需要一点二进制技巧