哈希

初中的小朋友正在学习哈希。我也来学一下。

AT_abc250_e [ABC250E] Prefix Equality

这个很简单，去重之后暴力算 hash 最后判断一下就好了。

CF1830C Hyperregular Bracket Strings

感觉比较有趣的题目。

先介绍：长度为 \(2n\) 的序列，构造括号序列的总方案数是 \(C_n = \dfrac{1}{n + 1}\dbinom{2n}{n}\)，也就是卡特兰数。

先考虑要求的所有区间都相离怎么做。设区间长度分别为 \(d_1,d_2,d_3,\cdots,d_n\)，那么因为区间之间互不影响所以答案是 \(\prod_{i = 1} ^n C_{d_i}\)。

那么对于相交的区间 \([l,r]\) 和 \([l',r']\)，不妨设 \(l< l'< r< r'\)，发现这时需要 \([l,l'],[l',r],[r,r']\) 全部合法才行。

互相包含的区间同样如此，也可以拆成三个区间。

我们再参照这样重复的区间组，发现需要把每个区间组的端点全部放进排序，最后相邻两位所组成的区间都要合法。

最后用卡特兰数乘法原理即可。

怎么拆分区间？我们想按照所属区间集合不同的点染成相同颜色，只需要给每个区间附上一个随机权值 \(d\)，之后异或起来区间的所有数就是这一段的颜色。

区间异或可以用差分处理。

CF1418G Three Occurrences

先考虑把 \(x = 3\) 转换一下，变成 $x \leq 3 $ 且 \(3 | x\)。

第一个可以双指针扫过去，第二个桶统计双指针目前扫到的区间中每个位置上出现的数的数量，大小对 \(3\) 取余。

但是发现这样依然比较差强人意，所以对桶哈希，然后开个 map 统计 hash 值。

P11360 [CEOI 2015] 管道

神！现在先考虑 tarjan 是怎样完成的：在生成树上，如果 \(u\) 及其子树均无点存在返祖边可以到 \(u\) 的祖先，那么这条边是割边。

然后把最先加入的一棵树记作生成树，后来在同一个联通块里面的边当然是返祖边，我们把这样的边 \(<u,v>\) 进行 \(a[u] := a[u] \oplus w, a[v] := a[v] \oplus w\)，\(w\) 是一个随机数。

统计每个点的子树 xor 和，如果为 \(0\) 大概率没有返祖边。