每日一题

6.13

考虑 \(y=n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=3n^2+6n+5\)，

当 \(a+by\) 恒为完全平方数，\(a+b(3n^2+6n+5)=f^2(n).\)

原式可化为 \(3b(n+1)^2+p=f^2(n)\)，其中 \(p=2a+b\)。

那么设 \(f(n)=\alpha n+b,\) 此时 \(f^2(n)=\alpha^2n^2+2\alpha\beta n+\beta^2=3bn^2+6bn+(3b+p)\)

则 \(\begin{cases}\alpha^2=3b\\2\alpha\beta=6b\\\beta^2=3b+p\end{cases}\)，将式 \(2\alpha\beta=6b\) 平方，得 \(4\alpha^2\beta^2=36b^2\)，再向这个式子带入 \(\alpha^2,\beta^2\)，得 \(4\cdot(3b)\cdot(3b+p)=36b^2\)，展开得到 \(36b^2+12bp=36b^2\)，移项合并得 \(12bp=0\)，当 \(b\not = 0\) 时，必有 \(p=0\)。

\[\therefore 2a+b=0,\dfrac{a}{b}=-\dfrac{1}{2} \]