离散数学--十一章 格与布尔代数

格的定义与性质:

布尔代数是计算机逻辑设计的基础,它是由格引出的。格又是从偏序集引出的。所以我们先回顾一下偏序集中的一些概念。

 偏序集

简单来说就是集合A中有自反,反自反,传递的关系

具体可以看第七章

我们结合Hasse图看如下关系:

假如 A={1,2,3,6,12,24,36} 且有如下关系

如果:B={2,3,6}

最大|小元

定义:

y是B的最小元⇔∃y∈B∧∀x(x∈B→y≤x) 

y是B的最大元⇔∃y∈B∧∀x(x∈B→x≤y)

 

最大|小元是唯一的(类比函数的最值)

而极大|小元不唯一

 

B最大元6 ,最小元 

B中Hasse图的最底(顶)层,且这一层只有一个点才能是最小(大)元

极大|小元

定义:

y是B的极小元⇔∃y∈B∧¬∃x(x∈B∧x≤y) 

y是B的极大元⇔∃y∈B∧¬∃x(x∈B∧y≤x)  

 

这里面B的极小元是 {2,3},极大元是 {6}

B中Hasse图的最底(顶)层,则是极小(大)元

上下界

定义:

y是B的下界⇔∃y∈A∧∀x(x∈B→y≤x)

y是B的上界⇔∃y∈A∧∀x(x∈B→x≤y)

 

比如 B上界 {12,24,36} 下界 {1}

Hasse图中B最底(顶)层,包括这一层和这一层下面(上面)的所有元素构成的集合则是下(上)界 

确界

定义:

B的上确界(最小上界)下确界(最大下界)就是上界的min,下界的max

 

结合Hasse 图理解

 

 

若B={2,3,6} 有如上图的关系

讲这么多终于到格的定义了

其实只要一个偏序集任意子集都有上下确界就是格了莫名很简洁

暗示判断格要疯狂枚举

格诱导的代数系统

交并运算

设<A, ≤>是格,在A上定义二元运算∨和∧为:∀a,b∈A
a∨b=LUB {a,b} |{a,b}的最小上界.Least Upper Bound
a∧b=GLB {a,b} |{a,b}的最大下界.Greatest Lower Bound
称<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统. (∨-并,∧-交)

就是用符号定义了上下确界而已

并且有:设<L, ≼>是格则有运算∨和∧适合交换律、结合
律、幂等律和吸收律
<==> 设<S, ∗, ◦ >是代数系统, ∗和◦是二元运算, 如
果∗和◦满足交换律、结合律和吸收律, 则<S, ∗,◦>构成格.
注意一下吸收率就好了:
a∨(a∧b) = a, a∧(a∨b) = a

各种格

分配格

如果交并还满足分配率就叫分配格

有界格

如果B是A时仍有上下确界 则此时的格为有界格,这个确界分别称为全上|下界

一般将全上界记为1 ,全下界记为0,一般将有界格L记为<L,∧,∨,0,1>.

有限格L={a1,a2,…,an}是有界格, 则a1∧a2∧…∧an是L的全下

界, a1∨a2∨…∨an是L的全上界. 

0是关于∧运算的零元,∨运算的单位元;1是关于∨运算的

零元,∧运算的单位元.

有补格

有补元的格称为有补格

a∧b = 0 和 a∨b = 1成立, 则称b是a的补元

在任何有界格中, 全下界0与全上界1互补

对于一般元素, 可能存在补元, 也可能不存在补元. 如果

存在补元, 可能是惟一的, 也可能是多个补元.

对于有界分配格, 如果元素存在补元, 一定是惟一的

子群格

没有特别懂

对一个群先找出它的所有子群

比如Z12 <0>,<1>,<2>,<3> ,<6>就是所有子群|也满足格的定义?也是子格

然后再画所有子群(子格)的Hasse图就行了

布尔代数

本质上就是一个集合

如果一个格是有补分配格, 则称

它为布尔格或布尔代数. 布尔代数标记为

<B,∧,∨,′, 0, 1>, ′为求补运算

这里面的 ' 的运算规律相当于 ‘否’

(a' )' =a 

∀a,b∈B, (a∧b)′ = a′∨b′, (a∨b) ′= a′∧b′ 

(0∧b)∨(a∧0) = 0∨0 = 0

(1∨b′)∧(a′∨1) = 1∧1 = 1

(a∧b)∧(a′∨b′) = (a∧b∧a′)∨(a∧b∧b′)
注意一下:Sn代表 n的因子所构成的集合|别到时候不知道
比如 s6={1,2,3,6}
posted @ 2020-05-04 16:28  Sakura_Momoko  阅读(1232)  评论(0编辑  收藏  举报