bzoj4306: 玩具厂

Description

在JIH考察的地图中有N个城市，被公路依次连成了一个环，JIH想在这些城市中建一个玩具厂。城市和公路都被编号为1..N，i号公路连接i-1号城市与i号城市（1号公路连接N号城市与1号城市），每个城市对玩具的需求为wi，每条公路的长度为di。当JIH在第i号城市建玩具厂时，JIH需要将玩具运输到其他城市（当然i城市除外）。设第i号城市到第j号城市的两条路径长度分别为l1、l2，则将玩具运输到第j号城市的费用为l1*l2*wj。总的运输费用为将玩具运到所有城市的运输费用的总和。

JIH当然想要总的运输费用最少，所以他会选最优的城市建玩具厂，如果有多个最优的城市，小月会等概率的选取其中一个建玩具厂。

由于JIH的调查工作没做好，只知道1..N-1号城市的wi，而N号城市的wi只知道它的取值范围[a,b]，假设wi的值在实数区间[a,b]上的概率是均匀分布的。现在JIH只好去进行第二次调查，于是我们想知道每个城市建玩具厂的概率是多少。

 

 

 

Input

第一行有三个正整数N，a，b。

接下来N-1行每行一个正实数，为w[1]到w[N-1]。

接下来N行每行一个正实数，为d[1]到d[N]。

 

 

Output

N行，每行一个实数，表示在第i个城市建厂的概率

 

 

Sample Input

5 1 100
50
25
25
50
1
2
3
2
1

Sample Output

0.090
0.000
0.000
0.090
0.821

HINT

 

当w[5]<18.75时，将在1或4号城市建玩具厂，当w[5]>18.75时，将在5号城市建玩具厂，

当w[5]=18.75时，将在1或4或5建玩具厂。

100%的数据中：N<=100000,a<=b<=10000,w[i]<=10000,d[i]<=10。

 

 

先将每个点的代价表示为kx+b的形式，然后维护个凸包求出每段区间最低的直线，进而求出每条直线即每个点被选的概率。

现在瓶颈在求出每个点的b。

如果将厂设在i-1点 l[j],r[j]为i-1点和j点的两条路长度，则

b[i-1]=Σl[j]*r[j]*w[j]

同理b[i]=Σ(l[j]+d[i])*(r[j]-d[i])*w[j]

作差得 b[i]-b[i-1]=Σw[j]*(r[j]*d[i]-l[j]*d[i]-d[i]*d[i])

=Σw[j]*r[j]*d[i]-Σw[j]*l[j]*d[i]-Σw[j]*d[i]*d[i]

维护Σw[j]*r[j]和Σw[j]*l[j]即可。

先暴力求出第1个点的b，然后O(1)转移求其他点的b，求所有点的b变成了O(N)。

注意：有重复的直线，他们要平分概率。

code：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 100005
#define eps 1E-9
#define inf 1E100
using namespace std;
int n,flag,cnt,siz,pos[maxn];
double w[maxn],d[maxn],dist[maxn],tot,tmp,ans,t1,t2,t3,val[maxn];
double a,b,l,r,f[maxn],p[maxn];
struct Line{
    double k,b;
    int id;
}line[maxn],tl[maxn];
bool cmp(Line x,Line y){
    if (abs(x.k-y.k)>eps) return x.k>y.k;
    return x.b<y.b;
}
double calc(Line l1,Line l2){return -(l1.b-l2.b)/(l1.k-l2.k);}
struct DATA{
    double x;
    int id;
}list[maxn];
void solve(){
    memcpy(tl,line,sizeof(line));
    sort(tl+1,tl+n+1,cmp);
    for (int i=1,j,t;i<=n;i=j){
        line[++cnt]=tl[i],t=0;
        for (j=i;tl[j].k==tl[i].k;j++) if (tl[j].b==tl[i].b) pos[tl[j].id]=cnt,t++;
        for (j=i;tl[j].k==tl[i].k;j++) if (tl[j].b==tl[i].b) p[tl[j].id]=1.0/t;
    }
    list[siz=1]=(DATA){-inf,1};
    for (int i=2;i<=cnt;i++){
        double t=calc(line[i],line[list[siz].id]);
        while (t<list[siz].x) siz--,t=calc(line[i],line[list[siz].id]);
        list[++siz]=(DATA){t,i};
    }
    list[++siz]=(DATA){inf,cnt+1};
    l=a,r=b,flag=0;
    for (int i=1;i<=siz&&flag!=2;i++){
        if (list[i].x>l){
            if (!flag) flag=1,f[list[i-1].id]=(list[i].x-l)/(r-l);
            else if (flag==1&&list[i].x<r) f[list[i-1].id]=(list[i].x-list[i-1].x)/(r-l);
            else if (list[i].x>=r) f[list[i-1].id]=(r-list[i-1].x)/(r-l),flag=2;
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) p[i]=f[pos[i]]*p[i];
    for (int i=1;i<=n;i++) printf("%.3lf\n",p[i]);
}
int main(){
    scanf("%d%lf%lf",&n,&a,&b);
    for (int i=1;i<n;i++) scanf("%lf",&w[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&d[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++) dist[i]=d[i];
    for (int i=1;i<=n;i++) dist[i]+=dist[i-1];
    tot=dist[n];
    if (a==b){
        w[n]=a;
        t1=w[1]*tot,t3=w[1];
        for (int i=2;i<=n;i++){
            tmp+=w[i]*(dist[i]-dist[1])*(tot-dist[i]+dist[1]);
            t1+=w[i]*(dist[i]-dist[1]);
            t2+=w[i]*(tot-dist[i]+dist[1]);
            t3+=w[i];
        }
        val[1]=ans=tmp;
        for (int i=2;i<=n;i++){
            tmp+=t1*d[i]-t2*d[i]-t3*d[i]*d[i];
            ans=min(ans,tmp);
            val[i]=tmp;
            t1+=w[i]*tot,t2-=w[i]*tot;
            t1-=t3*d[i],t2+=t3*d[i];
        }
        cnt=0;
        for (int i=1;i<=n;i++) if (abs(val[i]-ans)<=eps) cnt++;
        for (int i=1;i<=n;i++) if (abs(val[i]-ans)<=eps) printf("%.3lf\n",1.0/cnt);
        else puts("0.000");
        return 0;
    }
    l=0,r=tot;
    for (int i=1;i<=n;i++) l+=d[i],r-=d[i],line[i].k=l*r;
    t1=w[1]*tot,t3=w[1];
    for (int i=2;i<=n;i++){
        tmp+=w[i]*(dist[i]-dist[1])*(tot-dist[i]+dist[1]);
        t1+=w[i]*(dist[i]-dist[1]);
        t2+=w[i]*(tot-dist[i]+dist[1]);
        t3+=w[i];
    }
    line[1].b=tmp;
    for (int i=2;i<=n;i++){
        tmp+=t1*d[i]-t2*d[i]-t3*d[i]*d[i];
        line[i].b=tmp;
        t1+=w[i]*tot,t2-=w[i]*tot;
        t1-=t3*d[i],t2+=t3*d[i];
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) line[i].id=i;
    solve();
    return 0;
}