算法第三章作业

1、对动态规划算法的理解

动态规划算法和分治法的思想是类似的，将待求解问题分解成若干个子问题。但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。

动态规划基本步骤:

(1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。

(2)递归地定义最优值。

(3)以自底向上的方式计算出最优值。

(4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

2、编程题的递归方程分析

7-1 单调递增最长子序列 （20 分）

设计一个O(n2)时间的算法，找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列。

输入格式:

输入有两行： 第一行：n，代表要输入的数列的个数 第二行：n个数，数字之间用空格格开

输出格式:

最长单调递增子序列的长度

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

5
1 3 5 2 9

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

4

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

 
public class Main {
 
  public static void main(String[] args){
    Scanner in = new Scanner(System.in);
    int n=in.nextInt();
    int[] oldArray=new int[n];
    for (int i = 0; i < oldArray.length; i++) {
      oldArray[i]=in.nextInt();
    }
 
    lisGet(oldArray);
 
  }
 
  
 
  public static void lisGet(int[] arrayL ){
 
    int[] lisLength=new int[arrayL.length];
    for (int i = 0; i < arrayL.length; i++) { 
      lisLength[i]=1;
    }
    int max=1;
    for (int i=1; i <arrayL.length;i++) {
      for (int j = 0; j <i; j++) {
        if (arrayL[j]<arrayL[i]&&(lisLength[j]+1)>lisLength[i]) {          
          lisLength[i]=lisLength[j]+1;
        }
        if (max<lisLength[i]) {
          max=lisLength[i];
        }      
      }
    }
    System.out.println(max);
   }
 
}

}

分析：本题我借用一个数组lisLength，以其下标i来辅助记录原数组第i到末尾的递增序列的元素个数，然后与max比较，得到最大的max

 

 

7-2 租用游艇问题 （17 分）

题目来源：王晓东，《算法设计与分析》

长江游艇俱乐部在长江上设置了n个游艇出租站1，2，…，n。游客可在这些游艇出租站租用游艇，并在下游的任何一个游艇出租站归还游艇。游艇出租站i到游艇出租站j之间的租金为r(i,j),1<=i<j<=n。试设计一个算法，计算出从游艇出租站1 到游艇出租站n所需的最少租金。

输入格式:

第1 行中有1 个正整数n（n<=200），表示有n个游艇出租站。接下来的第1到第n-1 行，第i行表示第i站到第i+1站,第i+2站, ... , 第n站的租金。

输出格式:

输出从游艇出租站1 到游艇出租站n所需的最少租金。

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

3
5 15
7

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

12

import java.util.Scanner;

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int[][]a = new int[105][105];
        int []dp = new int[105];
        int n =in.nextInt();
        for(int i=1;i<n;i++){
            for(int j=i+1;j<=n;j++){
                a[i][j] = in.nextInt();
            }
        }
        for(int i=0;i<105;i++){
            dp[i]=99999;
        }
        dp[1]=0;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<i;j++)
            {
                dp[i]=Math.min(dp[i],dp[j]+a[j][i]);
            }
        }
        System.out.println(dp[n]);
    }
}

分析：借用数组dp来存放最小的费用，从最底层开始，逐层向上计算每两个站之间的最小花费，并记录在数组中，有记录的就不必再算了。

3、结对编程概况

我和我的同伴考虑过运用递归的算法，可在第一题得到的结果是部分正确，就换成其他的方式。对于这两道动态规划，我们都考虑到了数据运算过程可能会重复的现象，运用了数组对数据进行存放，避免重复计算。