最小二乘法简介
最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
上面的定义是摘自维基百科，在实际拟合应用中，而我个人直观的理解就是，最小二乘法是一个评价函数(标准)，用来评价我们得到的拟合曲线是否是最好的。最小二乘法的函数表示为:
其中表示我们拟合函数得到的拟合结果，表示真实值。
为什么是这个函数
首先假设我们有这样的数据集:
,是当前实例的一个特征向量，是对应的输出,m是数据集的大小。拟合问题的目标通常是寻找到一个函数，能够很好的描述这些点的分布情况。最简单的情况就是一条直线，然而在实际应用要复杂得多，数据是高维的。
面对一个高维的拟合问题，我们通常假设一个参数向量
，则预测输出为:
拟合问题的目标就是寻找一个合适的值，使得上面的公式到达最小。
那么为什么要选择这个函数而不是其他函数呢，为了回答这个问题，我们又要进行假设了，假设输入和输出之间的真实关系是这样的:
其中称为错误项(error term)，表示当前实例所有没有被特征值表达出来的影响因素(也可以理解成噪音)。我们进一步假设是独立同分布的，因此，根据中心极限定理，这个应该满足标准的正态分布，即:
所以的密度函数可以写成:
所以我们可以得到：
此处表示在给定并且参数为的情况下，的分布情况1
1此处的原文是: “
indicates that this is the distribution of given and parameterized by ”
。 注意，此时不是一个随机变量，而应该看成一个固定的值(虽然此时我们并不知道具体是多少)。
用
表示所有数据组成的矩阵(是一个向量)，用表示所有组成的向量，那么我们就可以得到似然函数：
为了最大程度的使拟合符合真实情况，我们尽可能的使达到最大，也就是说在给定的情况下，使得的概率最大。
但是公式太过复杂，不好处理，因此我们可以将求的最大值转化为求
的最大值2
2此处利用了对数函数
的性质
，所以:
最终，最大化就可以转化成为最小化
，这个公式是不是有点眼熟呢？就是上面最开始给出的最小二乘法(公式)的函数形式!
总结
本文是根据斯坦福大学的Andrew Ng教授的《机器学习》的公开课整理而成的，首先从假设误差项符合正态分布3
3正态分布真的是一个非常神奇的东西，生活中很多事情背后都隐含着正态分布的身影，更多内容可以查看这里
开始，一步一步推导，最终证明最小二乘法的有效性。最小二乘法是一个非常常见的数学优化技术，如果了解其存在的原因，对以后学习和使用都有很大的益处。
参考资料
- 斯坦福《机器学习》公开课第三集及其配套讲义
- 最小二乘法？为神马不是差的绝对值
- 维基百科:正态分布
转载自：http://zhouyichu.com/machine-learning/Least-Squares-Probabilistic-Interpretation.html
