二叉堆
二叉堆
我们知道堆栈是一种LIFO（后进先出）结构，队列是一种FIFO（先进先出）结构，而二叉堆是一种最小值先出的数据结构，因此二叉堆很适合用来做排序。
二叉树的性质：二叉堆是一棵完全二叉树，且任意一个结点的键值总是小于或等于其子结点的键值，
二叉堆采用数组来存储（按广度优先遍历的顺序），而没有像普通的树结构使用指针来表示节点间的关系。
如下图所示：
如图，最小的一个元素就是数组第一个元素。
将二叉堆按最广优先遍历的顺序编号从0到N-1，根据完全二叉树的性质，则第n个结点的子结点分别是2n+1和2n+2，其父结点是(n-1)/2。并且，叶子结点的下标是从 (N-1)/2开始，一直到N-1。这样，对于数组中的任意一个元素，我们可以很方便的计算出它的父节点、孩子节点所在的位置（即数组下标）。
插入
如果要在二叉堆中插入或删除一个元素，必须保证堆性质仍能满足。
新插入的节点new 放在完全二叉树最后的位置，再和父节点比较。如果new节点比父节点小，那么交换两者。交换之后，继续和新的父节点比较…… 直到new节点不比父节点小，或者new节点成为根节点。这样得到的树，就恢复了堆的性质。
删除
删除操作一定是踢出数组的第一个元素（即根节点），这么来第一个元素以前的位置就成了空位，让最后一个节点 last成为新的节点，从而构成一个新的二叉树。再将last节点不断的和子节点比较。如果last节点比两个子节点中小的那一个大，则和该子节点交换。直到last节点不大于任一子节点都小，或者last节点成为叶节点。
C++代码实现：
class heap { public: void insert(int val) { array.push_back(val); up(array.size() - 1); } int del() { if (array.empty()) return -1; int res = array.front(); array[0] = array[array.size() - 1]; array.resize(array.size() - 1); down(0); return res; } void up(int idx) { while (idx > 0 && parent(idx) >= 0 && array[parent(idx)] > array[idx]) { int p = parent(idx); swap(p, idx); idx = p; } } void down(int idx) { while (left(idx) < array.size()) { int l = left(idx); int r = right(idx); // 如果右孩子存在且比左孩子小 if (r < array.size() && array[r] < array[l]) { l = r; } if (array[idx] < array[l]) break; swap(l, idx); idx = l; } } void swap(int a, int b) { int tmp = array[a]; array[a] = array[b]; array[b] = tmp; } // 父节点的索引 int parent(int root) { return (root - 1) / 2; } // 左孩子的索引 int left(int root) { return root * 2 + 1; } // 右孩子的索引 int right(int root) { return root * 2 + 2; } public: vector<int> array; };
最小堆和最大堆
最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子结点的键值；最大堆常用于排序算法。
最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子结点的键值；最小堆常用于优先队列。
堆的意义就在于：最快的找到最大/最小值，在堆结构中插入一个值重新构造堆结构，取走最大/最下值后重新构造堆结构；其时间复杂度为O(logN)；
堆实践中用途不在于排序，其主要用在调度算法中，比如优先级调度，每次取优先级最高的，时间驱动，取时间最小/等待最长的 等等 ，分为最大堆/最小堆。
topK问题
求前K个最大的数，用最小堆；求前K个最小的数，用最大堆。
以求N个元素中前K个最大数为例，我们首先取这N个元素中的前K个元素来建立一个由K个元素组成的小顶堆，这样堆顶元素便是当前已读取元素中的第K大者；然后，依次读取剩下的N-K个元素，而对于其中的每个元素x，若x大于当前的堆顶元素，则将堆顶元素替换为x，并自堆顶至向下调整堆；这样，在读取完所有元素后，堆中的K个元素即为这N个数中的前K个最大元素，同时堆顶元素为这N个数中的第K大元素。
