算法第三章上机实践报告

1.实践题目：数字三角形 

 2.问题描述：

给定一个由 n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形 的顶至底的一条路径(每一步可沿左斜线向下或右斜线向下)，使该路径经过的数字总和最大。

输入格式:

输入有n+1行：

第 1 行是数字三角形的行数 n，1<=n<=100。

接下来 n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0..99 之间。

输出格式:

输出最大路径的值。

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

5 
7 
3 8 
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5 

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

30

3.算法描述
首先，先写出递归方程式：
{
m[i][j] = a[i][j]    i=n;
m[i][j] = m[i+1][j] + m[i+1][j+1] + a[i][j];
再运用动态规划的思想，自下而上求值。
}
代码如下：

#include <iostream>

using namespace std;

int Max(int a,int b){

if(a>=b)

return a;

else

return b;

}

int main()

{

int a[100][100],b[100][100],n;

cin >> n;

for(int i = 0;i < n; i ++ ){

for(int j = 0;j <= i;j ++ ){

cin >> a[i][j];

b[i][j] = a[i][j];

            }

        }

for(int i = n-2;i >= 0;i -- ){

for(int j = 0;j <= i;j ++ ){

b[i][j] += Max ( b[i+1][j], b[i+1][j+1] );

         }

        }//自下而上

cout<<b[0][0];

return 0;

}

4.算法时间及空间复杂度分析
时间复杂度：

for(int i = n-2;i >= 0;i -- ){

for(int j = 0;j <= i;j ++ ){

b[i][j] += Max ( b[i+1][j], b[i+1][j+1] );

         }

        }

由该语句可看得出，依次执行了n-1, n -2, n-3.........1 次。(n-1+1) *n/2 = 1/2n^2

所以时间复杂度：O（n) = n^2

 

空间复杂度：

由于没有使用辅助的空间，所以空间复杂度是O（1）

 

5.心得体会
这道题差不多做了一个半小时，一开始以为必须要用递归方法，
结果好不容易做出来也是超时的，也不知道怎么改。其实就是
用备忘录方法和动态规划的思想，自下往上求就是了。由于两
种可能方式都有a[i][j]，所以一开始就直接定义一个m数组来
存数值，然后从倒数第二行开始向上求，直接考虑第二种情况
就行了。