第三次作业

1.1
dp(i,j) = a(i,j) + max(dp(i+1,j), dp(i+1,j+1))
设数字三角形第i行第j列元素为a(i,j)（i、j从 1 开始计数，第i行有i个元素），定义dp(i,j)为从a(i,j)出发到达三角形底部的最大路径和。
当到达底部（i = n，n为三角形行数）时，路径无法延伸，路径和即为元素自身：dp(n,j) = a(n,j)（j从 1 到n）。

1.2
采用n×n二维表格dp存储子问题最优解（第i行仅前i个元素有效）。
i从n-1逆序遍历至 1（倒数第二行到第一行），j从 1 遍历至i（每行有效元素范围）。
从下往上、每行从左到右填表。
原问题最优值为dp(1,1)，即表格左上角元素（从顶部出发的最大路径和）。

1.3
需计算1+2+...+(n-1) = n(n-1)/2个元素，每个元素计算仅需 1 次比较和加法，时间复杂度为O(n²)。
使用n×n二维数组，空间复杂度O(n²)

动态规划的核心是 “分解子问题、利用重叠子问题、依托最优子结构”，通过存储子问题解避免重复计算，实现 “以空间换时间” 的优化。其解题关键在于两点：一是准确定义状态（如dp(i,j)的含义直接决定递归方程推导），二是理清状态转移逻辑，确保子问题解能递推构建原问题解。与贪心算法 “局部最优推导全局最优” 不同，动态规划通过遍历所有相关子问题，保证得到全局最优解，适用于子问题重叠且存在最优子结构的最优化问题（如数字三角形、背包问题等）。实践中，“从下往上” 的填表方式更易处理边界条件，而空间优化的核心是发现 “当前状态仅依赖有限前序状态”，可通过压缩存储降低内存开销。