第六章学习小结

本章由浅入深地学习了图。

  图(GRAPH)的定义：是一种非线性数据结构，由有穷、非空的点集V(G)和边集E(G)组成。当G中的每条边有方向时，称G为有向图，有向边（用一对尖括号<a,b>）又称为弧，起始顶点被称为弧尾，终止顶点被称为弧头，每条边无方向时（用一对括号表示（a,b）和（b,a）一样），被称为无向图。

图中顶点和边的关系：

有向图：顶点n和边数e，满足0<=e<=n(n-1)，若e = n(n-1)，称为完全有向图：每个顶点之间都有两条互为相反的边的无向图；

无向图：顶点n和边数e，满足0<=e<=n(n-1)/2，若e = n(n-1)/2，称为完全无向图：每个顶点之间都有一条边的无向图；

若图中e < n lbn 称该图为稀疏图，否则为稠密图；

由于图的结构比较复杂，所以一般采用二维数组（即邻接矩阵），或者是链表的存储形式。一般当图为稠密图时多采用链表的存储方式，避免浪费空间。

本章的重点之一是BFS算法和DFS算法。其中DFS算法是：从图中某一顶点出发，访问后标记visit[i]为1，然后依次搜索第i个结点的领接点j，再依次搜索j结点的每个领接点，直到所有结点都被遍历。

BFS算法是：先被访问的结点，其领接点也先被访问，具有先进先出的特性，我们使用队列来保存已经访问过的结点，以确定被访问过结点的顶点领接点访问次序。

另外老师在课上讲了一些关于普里姆算法的内容，课后我将其补齐了。普里姆算法是用于求最小生成树的一种算法。

简单来说普里姆算法分为以下五步：

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {},为空；

3).重复下列操作，直到V_new = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合V_new中的元素，而v不在V_new集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合V_new中，将<u, v>边加入集合E_new中；

4).输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

图源自wiki。

如以上三个图。我们选取D为起始点，那么根据普里姆算法，集合E中的最小边是AD（权值为5）顶点为A并且A不在集合V中，所以将AD相连并且将A加入到V集合中，如此反复就可以得到最小生成树。

在分享下wiki上的普里姆算法C语言的主体部分

//来源：严蔚敏 吴伟民《数据结构(C语言版)》
void MiniSpanTree_PRIM (MGraph G, VertexType u) {
    /*  用普利姆算法從第u個頂點出發構造網G 的最小生成樹T,輸出T的各條邊。
        記錄從頂點集U到V-U的代價最小的邊的輔助數組定義：
        struct
        {
            VertexType adjvex;
            VRtype lowcost;
        }closedge[MAX_VERTEX_NUM];
    */
    k = LocateVex(G, u);
    for (j = 0 ; j < G.vexnum; j++) { //輔助數組初始化
        if (j != k)
            closedge[j] = {u, G.arcs[k][j].adj}; //{adjvex, lowcost}
    }
    closedge[k].lowcost = 0; //初始，U={u}
    for (i = 1; i < G.vexnum ; i++) { //選擇其餘G.vexnum -1 個頂點
        k = minimum(closedge); //求出T的下個結點：第k結點
        //  此时 closedge[k].lowcost = MIN{ closedge[Vi].lowcost|closedge[Vi].lowcost>0,Vi∈V-U}
        printf(closedge[k].adjvex, G.vexs[k]); //輸出生成樹的邊
        closedge[k].lowcost = 0; //第k條邊併入U集
        for (j = 0; j < G.vexnum; j++) {
            if (G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost && closedge[j].lowcost!=0) //新頂點併入U後重新選擇最小邊
                closedge[j] = {G.vex[k], G.arcs[k][j].adj};
        }
    }
}