CF1477E - Nezzar and Tournaments
CF1477E - Nezzar and Tournaments
题目大意
有两队人\(a_i,i\in[1,n],b_j,j\in[1,m]\),现在把他们放在一起排成一行\(c_i\)
顺次给每个人计分,初始\(s_0=k\)
\(s_i=\max\{0,s_{i-1}+c_i-c_{\max\{i-1,1\}}\}\)
现在要最大化每个\(a_i\)所在位置的\(s_i\)之和 与 \(b_i\)所在\(s_i\)之和 的差
支持修改和对于不同\(k\)查询
分析
考虑\(k=0\)简单情况
1.若\(s_i\)不清零,则\(s_i=c_i-lst\),其中\(lst\)表示上一个被清零位置的\(c_j\)
2.\(s_i\)清零,则\(c_i<lst\)
容易发现,\(\displaystyle s_i=c_i-\min_{j\leq i}\{ c_j\}\)
那么对于含\(k\)的情况,类似可以得到
\(\displaystyle s_i=k-c_1+c_i+\max\{0,c_1-k-\min_{j\leq i}\{c_j\}\}\)
假设我们固定了一个\(c_1\),现在考虑对于剩下的\(a_i,b_j\)排出一个最优的排列
容易发现,\(k-c_1+c_i\)的贡献时固定的,只有前缀最小值会影响答案
我们希望对于\(b_i\),前缀最小值较大,\(a_i\)反之
那么容易发现可以先降序排列\(b_j\),再正序排列\(a_i\)
此时\(b_{\min}\)可以贡献给\(a_i\)的前缀最小值,同时\(b_j\)的前缀最小值能够取到最大
此时,不妨设\(c_1=t\),\(\min\{a_i,b_i\}=Min\)
在\(\min\{c_j\}=c_1\)时,\(\max\)里的东西没有贡献,故可以得到
1.对于每个\(a_i\),若它没有被放在\(c_1\),则贡献\(k-t+a_i+\max\{0,t-k-Min\}\)
2.对于每个\(b_i\)(不特殊考虑第一个),则贡献\(-(k-t+b_i+\max\{0,t-k-b_i\})\)(忽略最小值为\(t\)的情况)
则最终式子为
\(\displaystyle f(t)=(n-[t\in a_i])\cdot \max\{0,t-k-Min\}-\sum \max\{0,t-k-b_i\}+(m-n)t+C\)
其中\(C=(n-m)k+\sum a_i-\sum b_i\)
容易发现\(f(t)\)是关于\(t\)的分段一次函数,根据斜率变化情况分析,极值位置仅\(O(1)\)个
那么对于\(a_i\)作为\(t\)和\(b_j\)作为\(t\)的情况,分别计算\(f(t)\)的极值位置
极值位置需要一个\(k\)大查询和\(\text{lower_bound}\)
计算\(f(t)\)需要一个前缀查询
我用\(\text{BIT}\)充当平衡树来维护,复杂度为\(O((n+m+q)\log 10^6)\)
const int N=1e6+10,INF=1e9+10;
int n,m,q;
int a[N],b[N];
struct BIT{
ll s[N];
int c[N],n;
void Init(int m){ n=m; }
void Add(int p,int x,int y){
p++;
while(p<N) s[p]+=x,c[p]+=y,p+=p&-p;
}
ll Que(int p){
p++;
if(p<=0) return 0;
ll sum=0,cnt=0,t=p-1;
while(p) sum+=s[p],cnt+=c[p],p-=p&-p;
return t*cnt-sum;
}
int Rank(int p){
if(p<0) return 0; // 一些奇怪的边界特判 ,防止查询越界
p++,cmin(p,N-1);
int res=0;
while(p) res+=c[p],p-=p&-p;
return res;
}
int Kth(int k){ // 注意一定要避免找到并不存在的数值
cmin(k,n),cmax(k,1);
int p=0;
drep(i,19,0) if(p+(1<<i)<N && c[p+(1<<i)]<k) k-=c[p+=1<<i];
return p;
}
int Prev(int x) { return Kth(Rank(x)); }
int Next(int x) { return Kth(min(n,Rank(x)+1)); }
} A,B;
ll delta;
void AddA(int x,int k){
delta+=x*k;
A.Add(x,x*k,k);
}
void AddB(int x,int k){
delta-=x*k;
B.Add(x,x*k,k);
}
ll QueA(ll k){
ll Min=min(A.Kth(1),B.Kth(1));
auto F=[&](ll t){ return (n-1)*max(0ll,t-k-Min)-B.Que(t-k)+(m-n)*t; };
ll ans=max(F(A.Kth(1)),F(A.Kth(n)));
int p=B.Kth(m-1)+k;
cmax(ans,F(A.Prev(p))),cmax(ans,F(A.Next(p)));
return ans;
}
ll QueB(ll k){
ll Min=min(A.Kth(1),B.Kth(1));
auto F=[&](ll t){ return n*max(0ll,t-k-Min)-B.Que(t-k)+(m-n)*t; };
ll ans=max(F(B.Kth(1)),F(B.Kth(m)));
int p=B.Kth(m)+k;
cmax(ans,F(B.Prev(p))),cmax(ans,F(B.Next(p)));
return ans;
}
ll Que(ll k){
return max(QueA(k),QueB(k))+delta+(n-m)*k;
}
int main(){
n=rd(),m=rd(),q=rd(),A.Init(n),B.Init(m);
rep(i,1,n) AddA(a[i]=rd(),1);
rep(i,1,m) AddB(b[i]=rd(),1);
while(q--) {
int opt=rd();
if(opt==1) {
int x=rd(),y=rd();
AddA(a[x],-1),AddA(a[x]=y,1);
} else if(opt==2) {
int x=rd(),y=rd();
AddB(b[x],-1),AddB(b[x]=y,1);
} else printf("%lld\n",Que(rd()));
}
}