无向图的 三元环 - 四元环 计数

无向图的 三元环 - 四元环 计数

问题描述：

给定一个\(n\)个点\(m\)条边的无向图，统计其中三元环/四元环的个数

三元环

考虑枚举一条边\((u,v)\)，为了避免重复我们可能令\(u<v\)

然后暴力枚举求出\(u,v\)两个点出边的交点个数

具体的，先对于\(u\)的出点打标记，然后查询\(v\)的出点中被标记的个数

tips:当然每个三元环会被算三次

这样复杂度显然是\(O(nm)\)的，当\(v\)点度数大时就可以卡掉

优化

强制\(deg_u>deg_v\or deg_u=deg_v,u<v\)

考虑先固定\(u\)，预处理出标记情况，然后枚举每个合法的\((u,v)\)

再去枚举\(v\)的出边

考虑证明这个复杂度上限为\(O(m\sqrt m)\)级别

假设对于\((u,v)\)

1.如果\(deg_v\leq \sqrt m\)，显然它们被枚举的次数总和\(\leq m\)，枚举复杂度为\(O(m\sqrt m)\)

2.对于\(deg_v>\sqrt m\)，则显然有\(deg_u\ge deg_v>\sqrt m\)

会枚举到\(v\)的\(u\)显然不超过\(\sqrt m\)个，因此这样的\(v\)遍历次数为\(O(m\sqrt m)\)

故复杂度为\(O(m\sqrt m)\)

\[\ \]

四元环

类似三元环的方法，同样按照\((deg_u,u)\)二元组递减的顺序设定排名

强制\(u\)为四元环中排名最小的点，枚举合法的边\((u,v)\)，那么我们计算的实际上是每个\(v\)的出边的交的个数

依次枚举每个\(v\)的过程中，对于出边\((v,w)\)维护\(w\)出现次数，即可求出交点个数

容易发现这样的计算不会出现重复

而复杂显然是与上面相同的，还去掉对于\(u\)的出点打标记的过程