数论基础
数论基础
整除性和带余除法
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整除性：b整除a ：b|a、b是a的一个因子
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性质：a|1 ,a=+(-)1
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带余除法：a=qn+r,|r|<|n|,q=a/n向下取整，余数的符号和除数同号
欧几里得算法
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gcd(a,b) = gcd(b,a%b=r),where a>=b>0 and a%b! = 0
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模运算
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a除以n所得的余数为a模n，记为a mod n，n成为模数，ex:余数与模数同号
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同余：（a mod n）=（b mod n）称为a和b是模n同余，记为a=b（mod n）
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性质：
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相减的两个数可被模数整除，则这两个数同余
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交换律
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传递性
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模算数运算
1、2、3可以这样理解：模两数的余数的运算等于模两数运算，运算中包括了对期间模数的去重
幂运算也如此
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模运算的单位元：模+的单位元为0，模x运算的单位元为1
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逆元：
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（a+b）mod n =0，称a在mod n运算中加法逆元为b
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（a x b）mod n =1，称a在mod n运算中乘法逆元为b
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模运算的性质：
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剩余类集：定义比n小的非负整数集合为Zn={0，….,(n-1)},
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剩余类：Zn中每个元素都代表一个剩余类，模n的剩余类表示为[0]、[1]、[2]（、。。。、[n-1]
[r] = {a: a是一个整数，a=r（mod n）}：所有与r在模数n下同余的数
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(a+b) = (a+c)(mod n) a在Zn中有加法逆元，则b=c(mod n)，在Zn中，所有元素都有加法逆元
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ab = ac (mod n) a在Zn中有模乘法逆元，那么有 b=c（mod n），在Zn中，如果元素a与n互素，那么a有模乘法逆元
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扩展欧几里得算法
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ax+by = d = gcd (a,b)
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xi=xi-2 - xi-1*qi
yi = yi-2 - yi-1*qi
qi = ri-2 /ri-1 取整
初始条件r-1 = a、r0 = b 、x-1=1，y-1 = 0、x0 =0 、y0=1 -
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x与y的求法：就是在欧几里得算法的每一步，都附带算上xi=xi-2 - xi-1qi和yi = yi-2 - yi-1qi
素数：整数p>1是素数，当且仅当p只有因子+、-1和+-p
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整数因式分解：任意整数都可以用素数进行唯一的因式分解：a = p1^a1*p2^a2*……*pt^at,其中p都是素数
费马定理：若p是素数，a是正整数且不能被p整除，则a^p-1 = 1(mod p)或者a^p = a(mod p)
欧拉定理：
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欧拉函数：小于n且与n互素的正整数的个数
f(1) = 1,f(p) = p-1//p为素数
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欧拉函数计算方法：a = p1^a1*p2^a2*……*pt^at，则f(a) = a*Tt(1-1/pi) ///如果有两个素数p和q ，n=pq，则f（n）= f（p）*f（q）
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欧拉定理：a^f(n) = 1 mod n,对任意互素的整数a和n
离散对数
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模n整数幂：a^m = 1 mod n,满足该式的最小正幂为，a mod n 的阶、a所属模n的指数、a在模n运算的周期
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数a模n幂运算中，其阶最高为f(n).
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如果阶为f（n），则称a为模n幂运算的本原根，素数都有本原根，部分非素数有本原根
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模算数对数
b = a^i(mod p)
i = dlogb\a,p -
重要结论
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计算y = a^x mod p 很容易
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计算x = dlogy/a,p很难
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