CF397B题解

题意

一个人在凑钱，他只有面值从 $l$ 到 $r$ 的硬币，每种都有无限个。问是否可以凑出 $n$ 元钱。

思路

将题意转换为数学式子，能否找到一个数组 $a$，使得：

$$ \sum^x_{i=1}a_i(l\le a_i \le r)=n $$

其中 $x$ 代表数组 $a$ 的长度。

显然，我们可以很容易地推出 $x$ 的范围：

$$ \lceil \frac{n}{r}\rceil\le x \le \lfloor \frac{n}{l}\rfloor $$

（当 $a$ 的所有元素等于 $r$ 时，显然长度最小，等于 $l$ 时，显然长度最大）

那这有什么用呢？

这样我们就可以推出合法的 $n$ 的上下界！

若我们假设:

$$n=\lceil \frac{n}{r}\rceil\times l+k\le \lfloor \frac{n}{l}\rfloor \times r$$

变形为：

$$ n=(\frac{(k-\lceil \frac{n}{r}\rceil\times y)}{(l+y)}+\lceil \frac{n}{r}\rceil )\times (l+y)+(k-\lceil \frac{n}{r}\rceil\times y)\text{mod} (l+y) $$

（如果 $k$ 小于 $l$ 则加到某些元素上，多余则增加若干个元素）

其中 $(0\le y\le r-l)$。

所以，只要 $\lceil \frac{n}{r}\rceil\times l\le n \le \lfloor \frac{n}{l}\rfloor \times r$，则 $n$ 就一定可行。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long t,n,l,r;
int main() {
    cin>>t;
    while(t--) {
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&l,&r);
        n<=(n/l)*r&&n>=(n/r)*l?cout<<"Yes\n":cout<<"No\n";
    }
}