[20250727]数论基本概念、最大公约数

前言 信息学竞赛中的数学知识

0.1 大纲要求

入门级：


提高级：


NOI级：

0.2 信息学竞赛中的数论和数学竞赛有什么区别？

• 入门阶段，不重视对具体概念的辨析（例如，数学竞赛的入门数论题要求证明某个式子被另一个式子整除），重视算法模板的实现；

• 高阶竞赛中更重视一些“不那么优雅”的技巧。

• 数学竞赛的数论问题，最后的结论往往是直接的，或者说，\(O(1)\)的；

• 信息学竞赛中的数论题，往往会设计“刚刚好”的数据范围，卡在某个复杂度上，如 \(O(n^{\frac{3}{2}})\)、\(O(n^{\frac{2}{3}})\)，\(O(n^{\frac{3}{4}})\)这些很丑陋的形式。

• 本质上，信息学竞赛中的数论就是在认识数学语言后，容斥、分块，前期注重概念，后期运用各种技巧。

• 其实其它数学问题也一样，只需要知道那些语言是什么意思就行，后续的分析大部分要靠各种经验总结、常用思想。

0.3 课程安排

5天

• 27日上午：第一部分（数论基本概念、最大公约数）
• 27日下午：洛谷月赛
• 28日上午：第一部分（数论基本概念、最大公约数）
• 28日下午、29日全天：第二部分（几个重要定理、数论函数、重要算法模板）
• 30日全天：第三部分（数论分块、数论求和）
• 31日上午：模拟赛
• 31日下午：补题、总结

一、数论基本概念

• 自然数、整数
• 加减乘除
• 带余数除法
• 整除
• 因数与倍数
• 质数与合数

1.1 质数的筛法

埃氏筛法

线性筛法