2019牛客多校第一场 H.XOR

传送：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/H

题意：

给定一个长度为$n$的数列，询问所有异或和为0的子集大小的和。

数据范围：

$1<=n<=10^5,1<=a_i<=10^{18}$。

分析：

首先先考虑暴力做法，需要枚举所有的子集情况。然后求异或和。（但这样肯定tle。

考虑每一个数对于整个答案的贡献。

已知：$X xor X=0$，所以如果一个数如果能被其他几个数表示，那么这个集合的异或和为0。

首先，先求出$n$个数的线性基$LB1$。设线性基的秩为$r$，就是插入线性基内数的个数。

1）考虑线性基外的数的贡献：线性基外的数有$n-r$个，对于一个$LB1$外的数$x$，有剩下的$n-r-1$个数可以与$x$组成$2^{n-r-1}$个子集。这些子集与线性基$LB1$都可构成异或和为0的集合。

2）考虑线性基内的数的贡献：对于$LB1$内的数$x$，可以考虑用剩下的$n-1$个数构成的线性基$LB3$（秩为$r2$），然后判断$x$是否可以插入$LB3$内，如果不可以被插入，那么就是可以由$LB3$内的数异或构成，对于答案的贡献$2^{n-r2-1}$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10;
const ll mod=1e9+7;
ll a[maxn]; vector<ll> kk; 
struct Linear_basis{
    ll b[65]; int num;
    int insert(ll x){
        for (int i=62;i>=0;i--){
            if (x&(1ll<<i)){
                if (!b[i]){
                    b[i]=x; num++; break;
                } 
                x^=b[i];
            }
        }
        return x>0;  //是否可插入 
        //true 可插入 
    }
    int checkin(ll x){
        for (int i=62;i>=0;i--){
            if (x&(1ll<<i)){
                if (!b[i]) break;
                x^=b[i];
            }
        }
        return x>0;  //是否可插入 
    }
    void clear(){
        memset(b,0,sizeof(b)); num=0;
    }
}LB1,LB2,LB3;
ll pow_(int x,int y){
    ll res=1ll,base=1ll*x;
    while (y){
        if (y&1) (res*=base)%=mod;
        (base*=base)%=mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
} 
int main(){
    int n;
    while (~scanf("%d",&n)){
        LB1.clear();LB2.clear();LB3.clear(); kk.clear();
        for (int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&a[i]);
            int f=LB1.insert(a[i]); 
            if (f) kk.push_back(a[i]);
            else LB2.insert(a[i]);
        }
        int r=LB1.num;
        if (n==r){  //所有数都被插入线性基 
            printf("0\n");
            continue;
        }
        ll ans=1ll*(n-r)*pow_(2,n-r-1)%mod;
        for (int i=0;i<kk.size();i++){
            LB3=LB2;
            for (int j=0;j<kk.size();j++){
                if (kk[i]==kk[j]) continue;
                LB3.insert(kk[j]);
            }
            int r2=LB3.num;
            int f=LB3.checkin(kk[i]);
            if (!f) (ans+=pow_(2,n-r2-1))%=mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}