P4568 [JLOI2011]飞行路线

题意：给你一张无向图，现在你可以把图中至多条边的边权变为0.求此时的最短路。

解法：最短路+DP（还有个更为熟知的标签叫做分层图emmm）

设为从用了条免费边后的最短路，那么：

                                                      

由状态转移：此时边k被作为免费边使用。

由状态转移：很显然这是一个最短路。

其中指所有终点为的边的序号。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
#define ri register int
using namespace std;

const int MAXN=100020,KMAXN=55,INF=1310668019;
int n,m,k,s,t,u[MAXN],v[MAXN],w[MAXN],fst[MAXN],nxt[MAXN],dis[MAXN][KMAXN],book[MAXN];

inline int read()
{
	int x=0;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||'9'<ch)	ch=getchar();
	while('0'<=ch&&ch<='9')
	{
		x=(x <<3)+(x <<1)+(int)(ch-'0');
		ch=getchar();
	}
	return x;
}

struct node{
	int num,c;
};
priority_queue<node>Q;
bool operator<(const node &a,const node &b)
{
	return a.c > b.c;
}

void Dijkstra(int cnt)//cnt:当前使用的免费机会的次数 
{
	memset(book,0,sizeof(book));
	for(ri i=0;i<=n-1;i++)	 dis[i][cnt]=INF;
	dis[s][cnt]=0;
	Q.push((node){s,0});
	while(!Q.empty())
	{
		int x=Q.top().num; Q.pop();
		if(book[x])	 continue;
		book[x]=1;
		for(ri k=fst[x];k>0;k=nxt[k])
		{
			if(cnt==0&&dis[v[k]][cnt]>dis[u[k]][cnt]+w[k])
			//cnt=0时跑出来的dis[][cnt]应为原图的最短路 
			{
				dis[v[k]][cnt]=dis[u[k]][cnt]+w[k];
				Q.push((node){v[k],dis[v[k]][cnt]});
			}
			if(cnt>0)
			//cnt>0时dis[v[k]][cnt]可由dis[u[k]][cnt-1]和dis[u[k]][cnt]+w[k]这两种状态转移而来。需分类讨论。 
			{
				if(dis[v[k]][cnt]>dis[u[k]][cnt-1])
				{
					dis[v[k]][cnt]=dis[u[k]][cnt-1];
					Q.push((node){v[k],dis[v[k]][cnt]});
				}
				if(dis[v[k]][cnt]>dis[u[k]][cnt]+w[k])
				{
					dis[v[k]][cnt]=dis[u[k]][cnt]+w[k];
					Q.push((node){v[k],dis[v[k]][cnt]});
				}
			}
		}
	}
}

int main()
{
	n=read(),m=read(),k=read(),s=read(),t=read();
	m <<=1;
	for(ri i=1;i<=m;i+=2)
	{
		u[i]=read(),v[i]=read(),w[i]=read();
		nxt[i]=fst[u[i]],fst[u[i]]=i;
		u[i+1]=v[i],v[i+1]=u[i],w[i+1]=w[i];
		nxt[i+1]=fst[u[i+1]],fst[u[i+1]]=i+1;
	}
	for(ri i=0;i<=k;i++)
	//dis[][i]从dis[][i-1]和dis[][i]转移而来，故跑k+1遍dijk。这边跑完后更新出dis[][i]。
	//这样不断更新知道更新完 dis[][k]，dis[n][k]即为答案。 
		Dijkstra(i);
	cout<<dis[t][k];
	return 0;
}