数据结构与算法——堆排序
原文链接：https://jiang-hao.com/articles/2020/algorithms-algorithms-heap-sort.html
算法介绍
堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。堆排序可以说是一种利用堆的概念来排序的选择排序。分为两种方法：
- 大顶堆：每个节点的值都大于或等于其子节点的值，在堆排序算法中用于升序排列；
- 小顶堆：每个节点的值都小于或等于其子节点的值，在堆排序算法中用于降序排列；
堆排序的平均时间复杂度为 Ο(nlogn)。
通常堆是通过一维数组来实现的。在数组起始位置为0的情形中：
- 父节点i的左子节点在位置[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-8KrqGOd1-1608382007509)(https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bff8f7d580269fe6c1e35648032bf2b93354088)];
- 父节点i的右子节点在位置[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-BA6P27HJ-1608382007512)(https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e14787fdbf6c5580fcd2cf9f63c21dbeb8d82f5e)];
- 子节点i的父节点在位置[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-XdeaMqve-1608382007513)(https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38b28cfa0a788a6d767061ab7481da190b339b6)];
在堆的数据结构中，堆中的最大值总是位于根节点（在优先队列中使用堆的话堆中的最小值位于根节点）。堆中定义以下几种操作：
- 最大堆调整（Max Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点
- 创建最大堆（Build Max Heap）：将堆中的所有数据重新排序
- 堆排序（HeapSort）：移除位在第一个数据的根节点，并做最大堆调整的递归运算
算法步骤
首先第一步和第二步，创建堆，这里我们用最大堆；创建过程中，保证调整堆的特性。
从最后一个分支的节点开始从右往左，从下至上进行调整为最大堆。
现在得到的最大堆的存储结构如下：
初始堆创建完成。
接着，最后一步，堆排序，进行（n-1）次循环。
持续整个过程直至最后一个元素为止。
这个迭代持续直至最后一个元素即完成堆排序步骤。
算法实现
public class HeapSort {
private int[] arr;
public HeapSort(int[] arr) {
this.arr = arr;
}
/**
* 堆排序的主要入口方法，共两步。
*/
public void sort() {
/*
* 第一步：将数组堆化
* beginIndex = 第一个非叶子节点。
* 从第一个非叶子节点开始即可。无需从最后一个叶子节点开始。
* 叶子节点可以看作已符合堆要求的节点，根节点就是它自己且自己以下值为最大。
*/
int len = arr.length - 1;
int beginIndex = (arr.length >> 1)- 1;
for (int i = beginIndex; i >= 0; i--)
maxHeapify(i, len);
/*
* 第二步：对堆化数据排序
* 每次都是移出最顶层的根节点A[0]，与最尾部节点位置调换，同时遍历长度 - 1。
* 然后从新整理被换到根节点的末尾元素，使其符合堆的特性。
* 直至未排序的堆长度为 0。
*/
for (int i = len; i > 0; i--) {
swap(0, i);
maxHeapify(0, i - 1);
}
}
private void swap(int i, int j) {
int temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}
/**
* 调整索引为 index 处的数据，使其符合堆的特性。
*
* @param index 需要堆化处理的数据的索引
* @param len 未排序的堆（数组）的长度
*/
private void maxHeapify(int index, int len) {
int li = (index << 1) + 1; // 左子节点索引
int ri = li + 1; // 右子节点索引
int cMax = li; // 子节点值最大索引，默认左子节点。
if (li > len) return; // 左子节点索引超出计算范围，直接返回。
if (ri <= len && arr[ri] > arr[li]) // 先判断左右子节点，哪个较大。
cMax = ri;
if (arr[cMax] > arr[index]) {
swap(cMax, index); // 如果父节点被子节点调换，
maxHeapify(cMax, len); // 则需要继续判断换下后的父节点是否符合堆的特性。
}
}
/**
* 测试用例
*
* 输出：
* [0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9]
*/
public static void main(String[] args) {
int[] arr = new int[] {3, 5, 3, 0, 8, 6, 1, 5, 8, 6, 2, 4, 9, 4, 7, 0, 1, 8, 9, 7, 3, 1, 2, 5, 9, 7, 4, 0, 2, 6};
new HeapSort(arr).sort();
System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
}
