COGS 2287. [HZOI 2015]疯狂的机器人

首先可以知道的是，上下和左右是等价的，所以可以分开来算。

现在只考虑左右，而且不考虑不走的情况。

那么假设向右走是进栈，那么向左就是出栈，而且向右是是重要大于向左的。所以问题就等于了卡特兰数的进栈和出栈的方案数，即g[n]=C(2*n,n)-C(2*n,n-1)

现在来考虑不走的情况。

枚举有几步不走

Ans=for (int i=0; i<=n; i++) C(n,i)*for (int j=0; j<=i; j++) g[j]*g[i-j];

发现后面是卷积，于是用NTT优化一下。

（本蒟蒻不会用那些神奇的东西写式子，而且发现写∑好丑，就写for循环了2333）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#define LL long long
#define pi acos(-1)
using namespace std;

const int mod=998244353;
const int maxn=200005;

LL G=3,inv_G,inv_N;

int ksm(int x, int p)
{
    int sum=1;
    for (;p;p>>=1,x=(LL)x*x%mod)
        if (p&1) sum=(LL)sum*x%mod;
    return sum;
}

LL fac[maxn<<1],inv[maxn<<1],g[maxn<<2];
int n,N,rev[maxn<<2];

LL C(int n, int m)
{
    return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
void pre()
{
    inv_G=ksm(G,mod-2);
    fac[0]=inv[0]=inv[1]=g[0]=1;
    for (int i=1; i<2*maxn; i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod; 
    for (int i=2; i<2*maxn; i++) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for (int i=2; i<=n; i++) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
    for (int i=2; i<=n; i+=2) g[i]=(C(i,i/2)-C(i,i/2-1)+mod)%mod*inv[i]%mod;
}

void NTT(LL *a, int f)
{
    for (int i=0; i<N; i++) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for (int h=2; h<=N; h<<=1)
    {
        LL wn=ksm(f==1?G:inv_G,(mod-1)/h);//cout<<wn; system("pause");
        for (int i=0; i<N; i+=h)
        {
            LL w=1;
            for (int j=0; j<(h>>1); j++,w=w*wn%mod)
            {
                LL x=a[i+j],y=a[i+j+(h>>1)]*w%mod;
                a[i+j]=(x+y)%mod;
                a[i+j+(h>>1)]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if (f==-1) for (int i=0; i<N; i++) a[i]=a[i]*inv_N%mod*fac[i]%mod;
}

int main()
{
    freopen("crazy_robot.in","r",stdin); freopen("crazy_robot.out","w",stdout);
    cin>>n;  pre();  int L=0;
    for (N=1; N<n<<1; N<<=1) L++; inv_N=ksm(N,mod-2);// cout<<inv_N%mod;
    for (int i=0; i<N; i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    NTT(g,1); 
    for (int i=0; i<=N; i++) g[i]=g[i]%mod*g[i]%mod; 
    NTT(g,-1); LL ans=0;
//    for (int i=0; i<=N; i++) printf("%d\n",(LL)g[i]);
    for (int i=0; i<=n; i++) ans=(ans+C(n,i)*g[i]%mod+mod)%mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}