博弈论 课上摸鱼小笔记

打算刷博弈论的题了，补充一下前置知识，不然除了基础题猜规律啥都不会做了

对于普通的P/N分析，需要记住定义才能准确写出记忆化搜索:
1.无法进行任何移动的局面是P
2.存在后继局面为P的局面为N
3.所有后继局面为N的局面为P

Bash的粗糙证明过程
若石子为\(n\)最多取\(m\)个且符合\(n=(m+1)r+s,s<m+1\)，先手总有方法留下\(n=(m+1)r'\)的局面给对手

Nim的证明过程
根据P/N分析需要证明三个命题
1.无法移动的局面为P
无论多少个0异或都是0
2.N可以移动到P
若\(a_1⊕a_2⊕...a_n=k,k!=0\)，必可找出\(a_i\)，其最高位是\(k\)的最高位，\(a_i'=a_i⊕k<a_i\)（最高位必可去掉所以肯定成立
那么\(a_i\)替换为\(a_i'\)可以使异或和为\(0\)，记原式为\(Xor\),因为取出了\(a_i\),加入了\(a_i⊕k\)，所以\(Xor⊕a_i⊕a_i⊕k=k⊕k=0\)
3.P无法移动到P
当前局面\(a_1⊕a_2⊕...a_n=0\)，若要移动\(a_i\)到\(a_i'\)使得原式变为\(0\)，既\(a_i⊕a_i'=0\)，显然两者只能相等，而这是非法操作

SG函数
\(mex{S}\)指集合\(S\)中不存在的最小自然数

基本应用
对于一个给定的有向无环图和初始点的棋子，无法移动者输
定义关于图的每个顶点的\(SG(x)=mex{SG(y),x->y}\)
根据定义显然有
1.没有出边的局面\(SG(x)=0\)
2.若\(SG(x)=0\),则存在后继\(y\)使得\(SG(y)!=0\)
3.若\(SG(x)!=0\),则所有后继\(y\)都有\(SG(y)=0\)
对比前面的P/N分析，发现简直一毛一样
那么这个工具就可以替代P/N分析进行扩展

扩展应用
结论：游戏和的SG=子游戏的SG异或和

根据这个结论再来肝一遍nim，单堆的nim显然\(SG(x)=x\),那么n堆nim就是\(a_1⊕a_2⊕...a_n\),很方便right?

放一下没时间看的anti-SG，笔记有空改
https://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/7839276

anti-SG
anti-nim为例，最后策略集为空则胜
最先看到的应该是分奇偶的非充裕堆判断，若为偶数则先手胜，否则后手胜
按SG分类
SG!=0时
1.只有一堆大于1，先手可以把这堆化为0或者1，然后从上面的结果来看，先手必胜
2.大于一堆大于1，先手可以把SG=0的局面留给对手，先手必胜
3.没有一堆大于1，那就是只有奇数个非充裕堆的情况，先手必败
SG=0时
1.只有一堆大于1，不存在此情况
2.大于一堆大于1，先手无论如何操作，对于后手的局面总有大于一堆大于1，且后手SG!=0，从上面讨论的结果来看，先手必败
3.没有一堆大于1，既只有偶数个非充裕堆的情况，先手必胜

这个过程比较麻烦，要学会利用结论
结论：
单一SG=0时子游戏结束，先手必胜的条件需满足
1.SG!=0且存在单一SG>1
2.SG=0且所有单一SG<=1

那刚才的anti-nim游戏就分别对应于
1.SG!=0且至少一堆大于1
2.SG=0且所有堆为1

every-SG
暂时不知道具体使用方法，先记下结论
if(u终止) step(u)=0
if(sg(u)>0 ^ u->v ^ sg(v)=0) step(u)=max(step(v))+1
if(sg(u)=0 ^ u->v) step(u)=min(step(v))+1
先手必胜：单一SG的最大值为奇数