[BZOJ2839]集合计数

[组合数学T3]


数学知识

update:扩展欧拉定理:

 

似乎没什么知识性的东西

 线性求逆元      inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;    (inv[0]=inv[1]=1)

预处理逆元,阶乘,逆元的阶乘

 

    inv[0]=inv[1]=1;
	fac[1]=1;
	invfac[0]=invfac[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
		inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
		invfac[i]=invfac[i-1]*inv[i]%mod;
	}

 

题目描述

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007。(是质数喔~)

输入格式

一行两个整数N,K

输出格式

一行为答案。

样例

样例输入

3 2

样例输出

6

数据范围与提示

样例说明

假设原集合为{A,B,C}

则满足条件的方案为:{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}

数据说明

对于100%的数据,1≤N≤1000000;0≤K≤N;

 


题解

1.交集为k的方案数==在剩下的n-k个元素中交集为空集的方案数

2.定义F[i]为交集至少为i的方案数

    则在剩下n-i个元素中,有2^(n-i)个交集

    将这些交集看成新元素,有22n-i种方案,然后减去空集的一种情况

       可得 F[i]=C(n-i,i)*(22n-i -1)

3.n-=k后  此时求交集为0的方案数,

    根据容斥(事实上容斥并不好想,完全可以打表找规律)

           所求为F0-F1+F2-F3······

4.又因为n中选k个数有C(n+k,k)个方案

    最后输出*C(n+k,k)

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #define int long long
 4 using namespace std;
 5 
 6 const int mod=1e9+7;
 7 const int maxn=1000005;
 8 int n,k;
 9 int inv[maxn],fac[maxn],invfac[maxn];
10 int C(int a,int b)
11 {
12     return fac[a]*invfac[b]%mod*invfac[a-b]%mod;
13 }
14 int poww(int a,int b,int p)
15 {
16     int ans=1;
17     a%=p;
18     while(b)
19     {
20         if(b&1)  ans=ans*a%p;
21         b>>=1;
22         a=a*a%p;
23     }
24     ans%=p;
25     return ans;
26 }
27 signed main()
28 {
29     scanf("%lld%lld",&n,&k);
30     inv[0]=inv[1]=1;
31     fac[1]=1;
32     invfac[0]=invfac[1]=1;
33     for(int i=2;i<=n;i++)
34     {
35         fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
36         inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
37         invfac[i]=invfac[i-1]*inv[i]%mod;
38     }
39     int ans=0;
40     n-=k;
41     for(int i=0;i<=n;i++)
42     {
43         if(i&1)  ans=(ans-(poww(2,poww(2,n-i,mod-1),mod)-1)*C(n,i))%mod;
44         else     ans=(ans+(poww(2,poww(2,n-i,mod-1),mod)-1)*C(n,i))%mod;
45     }
46     ans=(ans*C(n+k,k)%mod+mod)%mod;
47     printf("%lld\n",ans);
48 }
View Code

 

愿你在迷茫时,记起自己的珍贵。
posted @ 2019-07-05 21:30  casun547  阅读(239)  评论(0编辑  收藏  举报