一维差分/前缀和

算法笔记的第一篇文章

前缀和：

在做题时，我们经常会遇见这种问题：

给你一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，有 \(q\) 次询问，每次给出一个区间 \(\left[L, R\right]\), 请输出 \(a_l+a_{l + 1}+\cdots+a_r\) 的和。

对于这种问题，最为简单的方式莫过于 \(\operatorname{O}(nq)\) 暴力了。
但有没有更快的方法呢？

由于加法是可逆的，所以我们可以把区间 \(\left[L, R\right]\) 拆分成区间 \(\left[1, R\right]\) 减去区间 \(\left[1, L-1\right]\)，所以我们可以预处理 \(a\) 的每一个前缀，达到 \(\operatorname{O}(1)\) 的查询。

预处理公式：

\[s_i =s_{i-1}+a_i \]

差分：

给你一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，有 \(q\) 次操作，每次给出一个区间 \(\left[L, R\right]\), 表示将 \(\left[L, R\right]\) 中的每一个数加 1， 让你输出 \(q\) 次操作后的数列。

对于这个问题，我们肯定能够想到 \(\operatorname{O}(nq)\) 的暴力写法。但可以用差分优化到 \(\operatorname{O}(n+q)\) 。

根据上述前缀和的公式我们不难发现，如果我们把 \(a_i\) 增加 1，那么 \(s_i,s_{i+1}\cdots s_n\) 都会增加 1。设差分数组为 \(d\), 那么我们把 \(d_L\) 加 1，把 \(d_R\) 减 1 即可。

但因为 \(\sum\limits_{j=1}^id_j\) 要等于 \(a_i\)，根据前缀和公式，我们可以逆向求得 \(d_i= a_i-a_i-1\) 然后在 \(d\) 数组上操作就可以了。