欧拉函数

欧拉函数

欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数的个数，记做：φ(n)，其中φ(1)被定义为1，但是并没有任何实质的意义。

定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。

显然，对于素数p，φ(p)= p -1.对于两个素数p、q，他们的乘积n = pq 满足φ(n) =(p-1)(q-1)

证明: 考虑n的所有余数集An = { 0,1,2,....,pq -1}

           而不和n互质的集合由下面三个集合的并构成：

         1) 能够被p整除的集合{p,2p,3p,....,(q-1)p} 共计q-1个

         2) 能够被q整除的集合{q,2q,3q,....,(p-1)q} 共计p-1个

         3) {0}

          很显然，1、2集合中没有共同的元素，因此Zn中元素个数 ＝ pq - (p-1 + q- 1 + 1) = (p-1)(q-1)

推论：设n是正整数，若n的标准分解式为n=p1^q1*p2^q2*........ ps^qs,则φ(n)计算公式是φ(n)=p1^(q1-1)*p2^(q2-1)...........ps^(qs-1)*(p1-1)(p2- 1)(p3-1)...(ps-1)

欧拉定理

对于互质的整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n

证明：首先证明下面这个命题：

            对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，考虑集合

             S = {ax1 mod n,ax2mod n,...,axφ(n)mod n}

             则S = Zn

             1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则axi也一定于p互质，因此

                  任意xi，axi mod n 必然是Zn的一个元素

             2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj

                 则axi mod n ≠ axi mod n，这个由a、p互质和消去律可以得出。

                 所以，很明显，S=Zn

        

                 既然这样，那么

         （ax1 × ax2×...×axφ(n)）mod n

       = （ax1 mod n × ax2mod n × ... × axφ(n)mod n）mod n

       = （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n

          考虑上面等式左边和右边

          左边等于(aφ(n) × （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n) mod n

          右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n

          而x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n和p互质

          根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：

          aφ(n) ≡ 1 mod n

推论：对于互质的数a、n，满足aφ(n)+1 ≡ a mod n

费马定理

a是不能被质数p整除的正整数，则有ap-1 ≡ 1 mod p

证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。

同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有ap ≡ a mod p

计算方法:

int phi(int n) {
 for(i=0; i<prime.size(); i++) {
  if( n%prime[i]==0 ) {
   a = prime[i];
   b = n/prime[i];
   c = gcd(a, b);
   return phi(a)*phi(b)*c/phi(c);
  }
 }
}