[一个脑洞] Candy?'s 不饱和度

update 2017.7.10

Candy?'s 不饱和度

题目背景

化学老师让同学们出题!昌老师担任有机组组长!

Candy?出了一道数不饱和度的题目,昌老师不会做所以拒绝接受!!!

于是Candy?又出了一道\(Polya定理\) 数卤代烃个数的题目,然后把原来这道题扔给了你。


题目内容

你有一个有多个环的烷烃的键线式,求他的不饱和度。

值得注意的是,键线式的C原子并没有标出来,并且线可能是直线、斜线或者曲线,上面的C原子数目不定。

下面有几个例子,其中X表示线,0表示空:

  1. 1 7
    XXXXXXX

    是一个饱和链烃,不一定有几个C,不饱和度是0.
  2. 4 7
    XXXXXXX
    XOOOOOX
    XOOOOOX
    XXXXXXX

    最简单的情况就是一个4个C的环烷烃,不饱和度为1.

  3. 3 7
    XXXXX00
    0X0X0X0
    00XXXXX

    这是一个有两个环的烃,不饱和度是2

    它可能张这个样子

    cc

  4. 4 7
    000X000
    00X0X00
    0X000X0
    0XXXXX0

    她的不饱和度是1,样子自行脑补,我懒得画了。


输入输出 & 数据规模

输入一个n行m列的矩阵,X表示线,0表示空,是一个有机物的键线式。输出他的不饱和度

\(n,m < 1000\)


样例

Sample Input

4 7
XXXXXXX
XOOOOOX
XOOOOOX
XXXXXXX

Sample Output

1

下面是题解和标程

meow


题解

最初的想法来自2016.6.26

那时候觉得复杂环式结构的烷烃不饱和度好神奇,从图论的角度考察了一下,还写了一篇周记。

一年后做化学题又想到了这个东西,拿着它去考灰哥有没有忘记我的周记,结果他随手用了另一种方法,好快好有趣,貌似正确性有待商榷。我尝试卡了一下,发现好像只有平面图成立,然后证明了一下成功了。

后来我发现那就是欧拉公式,并且我的证明和他一模一样,如果我早出生是不是可以叫Candy?公式.......


扔定理就跑:

定理1:任意一个烷烃可以看成无向简单图\(G(V,E)\),那么他的不饱和度为
\[ \mid E\mid - \mid V\mid +1 \]
其中\(V\)是点集,\(E\)是边集

定理2:如果由烷烃得到的图\(G\)是平面图,那么
\[ 它把平面划分成的区域数(除去最外围平面) = \mid E\mid - \mid V\mid +1 \]
平面图就是能画在平面上使得边仅在顶点处相交的图。

证明去看欧拉公式的吧,不想写。


这样一来对于化学题,一眼就看出不饱和度了。

但是出成OI题的话,如果标出C的位置可以用数分子式的方法很快水过去,所以才变成不确定C原子,这样的话就需要得到上面的定理然后搜一下0组成的连通块数就好了,小心外圈的0没有连起来


大多数人应该不会这个方法吧,昌老师就不会

Candy? : 你怎么知道这个方法的 (惊恐)

某冰 : 不就应该是这样吗 (一脸鄙视)


标程

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 105;

int n, m, ans;
char s[N][N]; int dfc, vis[N][N];
inline bool valid(int x, int y) {return x >= 0 && y >= 0 && x <= n && y <= m && s[x][y] != 'X' && !vis[x][y];}
void dfs(int x, int y) {
    vis[x][y] = dfc; 
    if(valid(x-1, y)) dfs(x-1, y);
    if(valid(x+1, y)) dfs(x+1, y);
    if(valid(x, y-1)) dfs(x, y-1);
    if(valid(x, y+1)) dfs(x, y+1);
}
int main() {
    freopen("in", "r", stdin);
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%s", s[i]+1);
    n++; m++;
    for(int i=0; i<=n; i++) for(int j=0; j<=m; j++) 
        if(s[i][j] != 'X' && !vis[i][j]) dfc++, dfs(i, j);
    printf("%d", dfc-1);
}
posted @ 2017-07-08 21:35 Candy? 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏