PageRank算法原理与Python实现
一、什么是pagerank
PageRank的Page可是认为是网页，表示网页排名，也可以认为是Larry Page(google 产品经理)，因为他是这个算法的发明者之一，还是google CEO（^_^）。PageRank算法计算每一个网页的PageRank值，然后根据这个值的大小对网页的重要性进行排序。它的思想是模拟一个悠闲的上网者，上网者首先随机选择一个网页打开，然后在这个网页上呆了几分钟后，跳转到该网页所指向的链接，这样无所事事、漫无目的地在网页上跳来跳去，PageRank就是估计这个悠闲的上网者分布在各个网页上的概率。
PageRank的核心思想非常简单：
如果一个网页被很多其他网页链接到的话说明这个网页比较重要，也就是PageRank值会相对较高
如果一个PageRank值很高的网页链接到一个其他的网页，那么被链接到的网页的PageRank值会相应地因此而提高
二、最简单pagerank模型
互联网中的网页可以看出是一个有向图，其中网页是结点，如果网页A有链接到网页B，则存在一条有向边A->B，下面是一个简单的示例：
这个例子中只有四个网页，如果当前在A网页，那么悠闲的上网者将会各以1/3的概率跳转到B、C、D，这里的3表示A有3条出链，如果一个网页有k条出链，那么跳转任意一个出链上的概率是1/k，同理D到B、C的概率各为1/2，而B到C的概率为0。一般用转移矩阵表示上网者的跳转概率，如果用n表示网页的数目，则转移矩阵M是一个n*n的方阵；如果网页j有k个出链，那么对每一个出链指向的网页i，有M[i][j]=1/k，而其他网页的M[i][j]=0；上面示例图对应的转移矩阵如下：
初试时，假设上网者在每一个网页的概率都是相等的，即1/n，于是初试的概率分布就是一个所有值都为1/n的n维列向量V0，用V0去右乘转移矩阵M，就得到了第一步之后上网者的概率分布向量MV0,（nXn）*(nX1)依然得到一个nX1的矩阵。下面是V1的计算过程：
注意矩阵M中M[i][j]不为0表示用一个链接从j指向i，M的第一行乘以V0，表示累加所有网页到网页A的概率即得到9/24。得到了V1后，再用V1去右乘M得到V2，一直下去，最终V会收敛，即Vn=MV(n-1)，上面的图示例，不断的迭代，最终V=[3/9,2/9,2/9,2/9]‘：
三、终止点问题
上述上网者的行为是一个马尔科夫过程的实例，要满足收敛性，需要具备一个条件：
- 图是强连通的，即从任意网页可以到达其他任意网页：
互联网上的网页不满足强连通的特性，因为有一些网页不指向任何网页，如果按照上面的计算，上网者到达这样的网页后便走投无路、四顾茫然，导致前面累计得到的转移概率被清零，这样下去，最终的得到的概率分布向量所有元素几乎都为0。假设我们把上面图中C到A的链接丢掉，C变成了一个终止点，得到下面这个图：
对应的转移矩阵为：
连续迭代下去，最终所有元素都为0：
四、陷阱问题
另外一个问题就是陷阱问题，即有些网页不存在指向其他网页的链接，但存在指向自己的链接。比如下面这个图：
上网者跑到C网页后，就像跳进了陷阱，陷入了漩涡，再也不能从C中出来，将最终导致概率分布值全部转移到C上来，这使得其他网页的概率分布值为0，从而整个网页排名就失去了意义。如果按照上面图对应的转移矩阵为：
不断的迭代下去，就变成了这样：
五、解决终止点问题和陷阱问题
上面过程，我们忽略了一个问题，那就是上网者是一个悠闲的上网者，而不是一个愚蠢的上网者，我们的上网者是聪明而悠闲，他悠闲，漫无目的，总是随机的选择网页，他聪明，在走到一个终结网页或者一个陷阱网页（比如两个示例中的C），不会傻傻的干着急，他会在浏览器的地址随机输入一个地址，当然这个地址可能又是原来的网页，但这里给了他一个逃离的机会，让他离开这万丈深渊。模拟聪明而又悠闲的上网者，对算法进行改进，每一步，上网者可能都不想看当前网页了，不看当前网页也就不会点击上面的连接，而上悄悄地在地址栏输入另外一个地址，而在地址栏输入而跳转到各个网页的概率是1/n。假设上网者每一步查看当前网页的概率为a，那么他从浏览器地址栏跳转的概率为(1-a)，于是原来的迭代公式转化为：
现在我们来计算带陷阱的网页图的概率分布：
重复迭代下去，得到：
六、用Python实现Page Rank算法
Python 实现的PageRank算法，纯粹使用python原生模块，没有使用numpy、scipy。这个程序实现还比较原始，可优化的地方较多。
# -*- coding:utf-8 -*- import random N = 4 # 四个网页 d = 0.85 # 阻尼因子为0.85 delt = 0.00001 # 迭代控制变量 # 两个矩阵相乘 def matrix_multi(A, B): result = [[0] * len(B[0]) for i in range(len(A))] for i in range(len(A)): for j in range(len(B[0])): for k in range(len(B)): result[i][j] += A[i][k] * B[k][j] return result # 矩阵A的每个元素都乘以n def matrix_multiN(n, A): result = [[1] * len(A[0]) for i in range(len(A))] for i in range(len(A)): for j in range(len(A[0])): result[i][j] = n * A[i][j] return result # 两个矩阵相加 def matrix_add(A, B): if len(A[0]) != len(B[0]) and len(A) != len(B): return result = [[0] * len(A[0]) for i in range(len(A))] for i in range(len(A)): for j in range(len(A[0])): result[i][j] = A[i][j] + B[i][j] return result def pageRank(A): e = [] for i in range(N): e.append(1) norm = 100 New_P = [] for i in range(N): New_P.append([random.random()]) r = [[(1 - d) * i * 1 / N] for i in e] while norm > delt: P = New_P New_P = matrix_add(r, matrix_multiN(d, matrix_multi(A, P))) # P=(1-d)*e/n+d*M'P PageRank算法的核心 norm = 0 # 求解矩阵一阶范数 for i in range(N): norm += abs(New_P[i][0] - P[i][0]) print New_P # 根据邻接矩阵求转移概率矩阵并转向 def tran_and_convert(A): result = [[0] * len(A[0]) for i in range(len(A))] result_convert = [[0] * len(A[0]) for i in range(len(A))] for i in range(len(A)): for j in range(len(A[0])): result[i][j] = A[i][j] * 1.0 / sum(A[i]) for i in range(len(result)): for j in range(len(result[0])): result_convert[i][j] = result[j][i] return result_convert def main(): A = [[0, 1, 1, 0], \ [1, 0, 0, 1], \ [1, 0, 0, 1], \ [1, 1, 0, 0]] M = tran_and_convert(A) pageRank(M) if __name__ == '__main__': main()
还有另外一个算法是用了numpy数组的
# -*- coding: utf-8 -*- from numpy import * a = array([[0, 1, 1, 0], [1, 0, 0, 1], [1, 0, 0, 1], [1, 1, 0, 0]], dtype=float) # dtype指定为float def graphMove(a): # 构造转移矩阵 b = transpose(a) # b为a的转置矩阵 c = zeros((a.shape), dtype=float) for i in range(a.shape[0]): for j in range(a.shape[1]): c[i][j] = a[i][j] / (b[j].sum()) # 完成初始化分配 # print c,"\n====================================================" return c def firstPr(c): # pr值得初始化 pr = zeros((c.shape[0], 1), dtype=float) # 构造一个存放pr值得矩阵 for i in range(c.shape[0]): pr[i] = float(1) / c.shape[0] # print pr,"\n===================================================" return pr def pageRank(p, m, v): # 计算pageRank值 while ((v == p * dot(m, v) + ( 1 - p) * v).all() == False): # 判断pr矩阵是否收敛,(v == p*dot(m,v) + (1-p)*v).all()判断前后的pr矩阵是否相等，若相等则停止循环 # print v v = p * dot(m, v) + (1 - p) * v # print (v == p*dot(m,v) + (1-p)*v).all() return v if __name__ == "__main__": M = graphMove(a) pr = firstPr(M) p = 0.85 # 引入浏览当前网页的概率为p,假设p=0.8 print pageRank(p, M, pr) # 计算pr值
幂迭代法的代码
import numpy as np class CPageRank(object): '''实现PageRank Alogrithm ''' def __init__(self): self.PR = [] #PageRank值 def GetPR(self, IOS, alpha, max_itrs, min_delta): '''幂迭代方法求PR值 :param IOS 表示网页出链入链关系的矩阵,是一个左出链矩阵 :param alpha 阻尼系数α，一般alpha取值0.85 :param max_itrs 最大迭代次数 :param min_delta 停止迭代的阈值 ''' #IOS左出链矩阵, a阻尼系数alpha, N网页总数 N = np.shape(IOS)[0] #所有分量都为1的列向量 e = np.ones(shape=(N, 1)) #计算网页出链个数统计 L = [np.count_nonzero(e) for e in IOS.T] #计算网页PR贡献矩阵helpS，是一个左贡献矩阵 helps_efunc = lambda ios,l:ios/l helps_func = np.frompyfunc(helps_efunc, 2, 1) helpS = helps_func(IOS, L) #P[n+1] = AP[n]中的矩阵A A = alpha*helpS + ((1-alpha)/N)*np.dot(e, e.T) print('左出链矩阵:\n', IOS) print('左PR值贡献概率矩阵:\n', helpS) #幂迭代法求PR值 for i in range(max_itrs): if 0 == np.shape(self.PR)[0]: #使用1.0/N初始化PR值表 self.PR = np.full(shape=(N,1), fill_value=1.0/N) print('初始化的PR值表:', self.PR) #使用PR[n+1] = APR[n]递推公式，求PR[n+1] old_PR = self.PR self.PR = np.dot(A, self.PR) #如果所有网页PR值的前后误差 都小于 自定义的误差阈值，则停止迭代 D = np.array([old-new for old,new in zip(old_PR, self.PR)]) ret = [e < min_delta for e in D] if ret.count(True) == N: print('迭代次数:%d, succeed PR:\n'%(i+1), self.PR) break return self.PR def CPageRank_manual(): #表示网页之间的出入链的关系矩阵，是一个左关系矩阵，可以理解成右入链矩阵 #IOS[i, j]表示网页j对网页i有出链 IOS = np.array([[0, 0, 0, 0, 1], [1, 0, 0, 0, 0], [1, 0, 0, 0, 0], [1, 1, 0, 0, 0], [0, 1, 1, 1, 0]], dtype=float) pg = CPageRank() ret = pg.GetPR(IOS, alpha=0.85, max_itrs=100, min_delta=0.0001) print('最终的PR值:\n', ret) if __name__=='__main__': CPageRank_manual()
运行结果
左出链矩阵: [[ 0. 0. 0. 0. 1.] [ 1. 0. 0. 0. 0.] [ 1. 0. 0. 0. 0.] [ 1. 1. 0. 0. 0.] [ 0. 1. 1. 1. 0.]] 左PR值贡献概率矩阵: [[0.0 0.0 0.0 0.0 1.0] [0.3333333333333333 0.0 0.0 0.0 0.0] [0.3333333333333333 0.0 0.0 0.0 0.0] [0.3333333333333333 0.5 0.0 0.0 0.0] [0.0 0.5 1.0 1.0 0.0]] 初始化的PR值表: [[ 0.2] [ 0.2] [ 0.2] [ 0.2] [ 0.2]] 迭代次数:29, succeed PR: [[0.2962595101978549] [0.11393416086464467] [0.11393416086464467] [0.16239748970660772] [0.31347467836624976]] 最终的PR值: [[0.2962595101978549] [0.11393416086464467] [0.11393416086464467] [0.16239748970660772] [0.31347467836624976]]
