最短路的几种算法及其优化（模板）
一.Dijkstra 算法
dijkstra算法适用于边权为正的情况，求单源最短路，适用于有向图和无向图
模板伪代码：
清除所有点的标号
设d[0]=0，其余d[i]=INF；
循环n次{
在所有未标记的节点中，寻找d[i]最小的点x
给x做标记
对于从x出发的所有边(x,y)更新d[y]=min(d[y],d[x]+w[x,y]);
}
memset(v,0,sizeof(v)); for(int i=0;i<n;++i) d[i]=(i==0?0:INF); for(int i=0;i<n;++i) { int x,m=INF; for(int j=0;j<n;++j) if(!visit[j]&&d[j]<m) { m=d[j]; x=j; } visit[x]=1; for(int j=0;j<n;++j) d[j]=min(d[j],d[x]+w[x][j]); }
简单说一下dijkstra的优化：
1.储存结构上：邻接矩阵是很占空间的（众所周知），所以我们一般采用邻接表或者边表
2.堆优化：因为在dijkstra中有循环n次寻找最小dict的过程，我们可以维护一个小根堆来实现，也就把时间复杂度从n^2降到了n*(logn+E)。
优化后的dijkstra，自己写的：
/* 建图用的邻接表，复杂度O(E*logE) */ struct pnode { int num; int len; pnode() {} pnode(int a, int b) : num(a), len(b) {}//初始化结构体用的，把a复制给num，把b复制给len； bool operator < (const pnode tmp) const { return len > tmp.len; } }; int dis[N]; bool vis[N]; int n; void dijkstra(int s) { priority_queue<pnode> q; q.push(pnode(s, 0)); pnode u; int v, i, res = inf; for(i = 0; i <= n; ++i) dis[i] = inf, vis[i] = false; dis[s] = 0; while(!q.empty()) { u = q.top(); q.pop(); if(u.len != dis[u.num]) continue;/*这是应对优先队列中的重复入队的点，只要最新的那个点就可以了*/ if(vis[u.num]) continue; vis[u.num] = true; for(i = head[u.num]; i != -1; i = g[i].next) { v = g[i].to; if(dis[v] > u.len + g[i].val) { dis[v] = u.len + g[i].val; q.push(pnode(v, dis[v])); } } } }
二.Bellman-Ford的优化（也就是SPFA，直接看三吧）
三.SPFA模板及SPFA的优化
1.普通SPFA模板（队列化的Bellman-Ford算法）：
int visit[N],dis[N]; bool SPFA(int s) { queue<int>q; memset(dis,127,sizeof(dis)); memset(visit,false,sizeof(visit));
memset(cnt,0s,sizeof(cnt)); dis[s]=0; visit[s]=true; q.push(s); while(!q.empty()) { int k=q.front(); q.pop(); visit[k]=false; for(int i=head[k];i;i=edge[i].last)/*边表*/ { if(dis[k]+edge[i].w<dis[edge[i].v]) { dis[edge[i].v]=dis[k]+edge[i].w; if(!visit[edge[i].v]) { q.push(edge[i].v); visit[edge[i].v]=true;
if(++cnt[edge[i].v]>n) /*如果某一个点的入队次数超过了n次，说明存在负环，返回false*/
return false; } } } } return true;/*安全跑完了，不存在环*/ }
2.SPFA的优化
SPFA算法有两个优化策略SLF和LLL——SLF：Small Label First 策略，设要加入的节点是j，队首元素为i，若dist(j)<dist(i)，则将j插入队首，否则插入队尾； LLL：Large Label Last 策略，设队首元素为i，队列中所有dist值的平均值为x，若dist(i)>x则将i插入到队尾，查找下一元素，直到找到某一i使得dist(i)<=x，则将i出队进行松弛操作。 SLF 可使速度提高 15 ~ 20%；SLF + LLL 可提高约 50%。 在实际的应用中SPFA的算法时间效率不是很稳定，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的Dijkstra算法。实际上dijkstra算法+heap优化后是一定快于一般SPFA的，而且更加稳定。
1)SPFA的SLF优化，（很简单的，只要使用双端队列就可以实现了）。
#include <algorithm> #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> #include <deque> using namespace std; const int N=501; const int NN=100001; const int inf=0x7fffffff; int n,nu; typedef struct node { int adj,val; struct node *next; }; node node[NN],*p[N]; int SPFA() { deque<int> qu; int x,i,a,b; int vis[N],dis[N],num[N]; struct node *head[N]; for(i=1;i<=n;i++) { vis[i]=0; num[i]=0; dis[i]=inf; head[i]=p[i]; } dis[1]=0; vis[1]=1; num[1]++; qu.push_back(1); while(!qu.empty()) { x=qu.front(); qu.pop_front(); vis[x]=0; head[x]=p[x]; while(head[x]) { a=head[x]->adj; b=head[x]->val; if(dis[a]>dis[x]+b) { dis[a]=dis[x]+b; if(!vis[a]) { vis[a]=1; num[a]++; if(num[a]>=n) return 1; if(!qu.empty()) { if(dis[a]>dis[qu.front()]) qu.push_back(a); else qu.push_front(a); } else qu.push_back(a); } } head[x]=head[x]->next; } } return 0; } int main() { int t,i,m,w,a,b,c; scanf("%d",&t); while(t--) { memset(node,0,sizeof(node)); memset(p,0,sizeof(p)); nu=0; scanf("%d%d%d",&n,&m,&w); for(i=0;i<m;i++) { scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); node[nu].adj=b; node[nu].val=c; node[nu].next=p[a]; p[a]=&node[nu]; nu++; node[nu].adj=a; node[nu].val=c; node[nu].next=p[b]; p[b]=&node[nu]; nu++; } for(i=0;i<w;i++) { scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); node[nu].adj=b; node[nu].val=-c; node[nu].next=p[a]; p[a]=&node[nu]; nu++; } if(SPFA()) puts("YES"); else puts("NO"); } return 0; }
#include<iostream> using namespace std; #include<deque> #include<cstdio> #include<cstring> int n,m; #define N 1001 struct Edge{ int u,v,w,last; }edge[N]; int head[N]; int dict[N]; bool visit[N]; void input() { scanf("%d%d",&n,&m);/*n个点，m条边*/ for(int i=1;i<=m;++i) { scanf("%d%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].w); edge[i].last=head[edge[i].u]; head[edge[i].u]=i; } } bool SPFA() { deque<int>q; memset(dict,127,sizeof(dict)); memset(visit,false,sizeof(visit)); dict[1]=0; visit[1]=true;; int cnt[N]; memset(cnt,0,sizeof(cnt));/*判断有无环的标志*/ ++cnt[1]; while(!q.empty()) { int k=q.front(); q.pop_front(); visit[k]=false;/*取出后，不要忘记标志位*/ for(int l=head[k];l;l=edge[l].last)/*边表*/ { int p=edge[l].v; if(dict[p]>dict[k]+edge[l].w) { dict[p]=dict[k]+edge[l].w; ++cnt[p]; if(cnt[p]>n) return true;/*如果某个点的入队次数超过了n，那么一定存在环*/ if(!visit[p]) { visit[p]=true; if(!q.empty())/*这就是SLF Small Label First 策略.的核心，把将要入队的元素的dict与队首元素相比较，如果将要入队的元素的dict大的话，就放在队尾，否则就放在队首 */ { if(dict[p]>dict[q.front()])/*这样可以保证始终用dict小的更新，也节约了时间*/ q.push_back(p); else q.push_front(p);/*所以必须使用双端队列*/ } else q.push_back(p);/*不要忘记考虑队列为空的情况*/ } } } } return false; } int main() { input(); if(SPFA()) printf("circle"); else{ for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",dict[i]); } return 0; }
2.SPFA的LLL优化
在网上实在没找到可靠的。
3.SPFA的DFS优化：
在很多的题目中，SPFA都是用BFS来实现的，对于随机图来说，BFS的速度会远大于DFS，但是对于某些特殊的图结构来说，DFS也是一个很好的选择
例如 1）：题目中要求在最短的时间内，判断有无环，DFS明显会比BFS快（例题是POj上一个判断单词接龙的题目）
2）：对于网格型的图，DFS的速度比BFS快
模板：
void SPFA(int k) { flag[k]=true; for(int l=head[k];l;l=edge[l].last) { int v=edge[l].v;/*找出第一个可以被更新的点*/ if(dis[v]>dis[k]+edge[l].w) { dis[v]=dis[k]+edge[l].w; if(!flag[v]) { SPFA(v);/*接着深搜下去*/ } else /*这表明从某个点开始DFS，结果又搜到了这个点，说明存在负权回路*/ { printf("cycle"); return; } } } flag[k]=false;/*不要忘记再把k设为false，为的是让他能够重复入队*/ }
四，Floyd算法模板（没有任何优化，就是邻接矩阵和n^3，一般情况单源最短路是绝对不会用的）
for(int k=1;k<=n;++k)/*注意这个k必须在最外层循环才行*/ for(int i=1;i<=n；++i) for(int j=1;j<=n;++j) dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
