拉格朗日反演

拉格朗日反演

设有两个多项式\(F(x)\)\(G(x)\),两个多项式都是常数项为\(0\)\(1\)次项不为\(0\),如果满足\(G(F(x))=x\),则称\(F(x)\)\(G(x)\)互为复合逆,有

\[[x^n]F(x)={1\over n}[x^{-1}]{1\over G^n(x)} \]

\[[x^n]H(F(x))={1\over n}[x^{-1}]H'(x){1\over G^n(x)} \]

其中\([x^n]F(x)\)表示多项式\(F(x)\)\(n\)次项系数。把\(F\)\(G\)交换位置也成立(大概……)

前置芝士

当我第一次看到这两个式子的时候是懵逼的,一个好好多项式的哪来的\(x^{-1}\)

然后看了看发现这好像是抽代里的芝士……我根本不会啊……

然后随便看了看书……大概是这么定义的

环:设\(R\)是一个非空集合,如果\(R\)上定义了两个代数运算(代数运算就代表有封闭性),一个是加法,一个是乘法,并且满足一下三个条件

1.\(R\)对于加法成一个交换群(就是\(R\)对于加法成一个群,且这个加法满足交换律)

2.乘法有结合律

3.乘法对加法有分配律,即\(a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca\)(左右都有分配律)

那么\(R\)就是一个环

然后域的定义就是:如果\(R\)的乘法有单位元,满足交换律,并且每一个非\(0\)元都可逆,那么\(R\)就是一个域

我们平时做的只是在形式幂级数环上的东西,就是形如\(a_0+a_1x+a_2x^2+...\),记为\(F[[x]]\)\(F\)是一个域,\(OI\)里一般都是复数域或者模\(P\)意义下的域)

首先它并不是一个域,因为形如\(x\)这种没有常数项的多项式是不可逆的

然后我们需要一个域,是一个叫做分式环的东西(虽然叫环但它是个域),为所有形如\(ab^{-1},a,b\in R,b\neq 0\)的元素组成(这里除法只是个形式,并不需要\(b\)真的可逆)。我们把\(F[[x]]\)的分式环记为\(F((x))\)

然后\(F((x))\)中的每个元素都能表示成\(...a_{-2}x^{-2}+a_{-1}x^{-1}+a_0+a_1x^1+a^2x^2+...\)的形式

为啥嘞?对于\(F((x))\)中的每一个元素\(A(x)/B(x)\),我们把\(B(x)\)表示成\(x^dB'(x)\)的形式,其中\(B'(x)\)是一个常数项非\(0\)的多项式(不是导数),那么\(B'(x)\)就可逆,计算出\(A(x)/B'(x)\)之后,把每一项次数减去\(d\)就行了

那么在\(F((x))\)下我们就不用担心\(B(x)\)不可逆之类的问题了

证明

所以你叽里呱啦说了一大堆有什么用啊!

对于\(G(F(x))=x\),我们可以写成

\[\sum_{i=1}^\infty a_iF^i(x)=x \]

两边求导,得

\[\sum_{i=1}^\infty ia_iF^{i-1}(x)F'(x)=1 \]

这里的\(F'(x)\)就代表\(F(x)\)的导数了

我们两边同除以\(F^n(x)\),同时取\(x^{-1}\)的系数

\[[x^{-1}]\sum_{i=1}^\infty ia_iF^{i-n-1}(x)F'(x)=[x^{-1}]{1\over F^n(x)} \]

对于左边,我们发现当\(i\neq n\)的时候,\(F^{i-n-1}(x)F'(x)\)等价于\({1\over i-n}(F^{i-n})'(x)\),由于任何一个多项式求导之后\(-1\)次项都为\(0\)所以这一部分都不用去考虑,只要管\(i=n\)的时候就行了

\(i=n\)的时候,有

\[\begin{aligned} F^{-1}(x)F'(x) &={a_1+2a_2x+3a_3x^2+...\over a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...}\\ &=\frac{a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots}{a_1x}\cdot \frac{1}{1+\left(\frac{a_2}{a_1}x+\frac{a_3}{a_1}x^2+\cdots\right)}\\ \end{aligned} \]

对于后面分母中那个多项式来说,因为它的常数项不为\(0\)所以它可逆,且它的逆常数项必为\(1\)。而前面那个多项式只有第一项次数为\(-1\),而且第一项的系数为\(1\)

于是我们发现\([x^{-1}]F^{-1}(x)F'(x)=1\)

代入原式中就有\(a_n=[x^{-1}]{1\over n}{1\over F^n(x)}\)

然后就证完了

等会儿,你给我这式子了,那我咋求\(x^{-1}\)?我的形式幂级数里可没有\(-1\)次项啊?

因为\(F(x)\)常数项为\(0\)\(1\)次项不为\(0\),我们令\(F'(x)=F(x)/x\),那么原式就能变成\(a_n=[x^{-1}]{1\over n}{x^n\over F'^n(x)}=[x^{n-1}]{1\over n}{1\over F'^n(x)}\),这就完全转化成形式幂级数的形式了,问题解决

posted @ 2019-03-05 12:58  bztMinamoto  阅读(1059)  评论(1编辑  收藏
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