系统动态响应分析

我们从一阶系统开始。

$G(s)=\frac{\alpha}{s+\alpha}$

$g(t)=e^{-\alpha t}u(t)$

时间常数$\tau=\frac{1}{\alpha}$。

系统有一个有限极点在$-\alpha$。

下面从直观上分析一下系统对阶跃的时间响应。首先考虑两种极端情况。

1) $\alpha=0$，此时系统响应恒为0，可理解为响应无限慢。

2) 极点在无穷远点，将系统方程改写为$G(s)=\frac{1}{s/\alpha+1}$，可看出此时系统是一个无相移的全通系统，响应时间为0。

根据上面两种情况，从直观上我们可以推断出，当极点距离原点越来越远，响应速度越来越快。这和时间常数式子所表现的是一样的：$\alpha$越大，时间常数越小。

换一种说法就是，极点越远，对系统的“作用”就越小。后面我们会看到，零点也具有类似的特性。

 

然后看二阶系统。

$G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$

极点在$s_{1,2}=-\zeta\omega_n \pm \omega_n \sqrt{\zeta ^2 - 1}$

$\omega_n$：自然频率（无阻尼频率）

$\zeta$：阻尼比（相对阻尼系数）

根据$\zeta$的取值，可分为以下几种情况：

$\zeta <0$，负阻尼，极点在右半平面，要么稳定非因果，要么因果非稳定。不管哪种，对于控制系统来说都是无用的。

$\zeta =0$，无阻尼，在阶跃输入条件下，产生等幅振荡输出，振荡频率为无阻尼自然频率$\omega_n$

$0< \zeta <1$，欠阻尼，在阶跃输入条件下，产生衰减震荡输出，阻尼振荡频率$\omega _d=\omega_n\sqrt {1- \zeta ^2}$小于无阻尼自然频率。因为只有当极点存在负实部时响应才会衰减，且实部的绝对值反映了调节时间的快慢，所以实部的绝对值称为衰减系数$\sigma=\zeta\omega_n$

$\zeta =1$，临界阻尼，在阶跃输入条件下，产生无振荡输出，因此根无虚部，无超调，为两个相等负实根。

$\zeta >1$，过阻尼，和临界阻尼相比，需要更长的上升时间。同样根无虚部，为两个不相等负实根。

在实际应用中，除了不允许产生振荡的系统外，一般都为控制系统设计适当的欠阻尼（$\zeta=0.4\sim 0.8$）,以得到较快的响应速度和较短的调节时间。

 

一些（通用）性能指标：

$t_d$：延迟时间，响应曲线第一次到达终值一半所需的时间

$t_r$：上升时间，响应第一次从终值10%上升到终值90%的时间

$t_p$：峰值时间，响应到达第一个峰值的时间

$t_s$：调节时间，响应到达并保持在终值$\pm 5 \%$内所需的最短时间

$M_p$：（响应的最大偏移量与终值的差）与终值比的百分数

 

从根表达式可看出，衰减系数$\zeta$是闭环极点到虚轴的距离，阻尼振荡频率$\omega_d$是闭环极点到实轴的距离，自然频率$\omega_n$是极点到坐标原点的距离，$\zeta$是$\omega_n$与负实轴夹角（阻尼角）$\beta$的余弦（$\zeta=cos\beta$）。

 

二阶欠阻尼系统动态过程分析

一般来说，我们都希望得到一个欠阻尼系统，以平衡各个性能指标。下面的分析略去计算过程。

1) 延迟时间

欠阻尼条件下，$t_d=\frac{1+0.7\zeta}{\omega_n}$

即增大自然频率或减小阻尼比都可以减小延迟时间。增大自然频率，响应曲线上升变快；减小阻尼比，阻尼振荡频率增大，同样上升变快。

2) 上升时间

$t_r=\frac{\pi - \beta}{\omega _d}$

当阻尼比一定时，阻尼角不变，上升时间与$\omega_n$成正比；$\omega _d$一定时，阻尼比越小，上升时间越短。直观上的分析同上文中的延迟时间。

取$\zeta=0.5$为平均情况，可近似取$t_r=\frac{1.8}{\omega_n}$

3)  峰值时间

$t_p=\frac{\pi}{\omega _d}$

峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。这个很好理解：峰值时间就是从零上升到半个周期的时间。

4) 超调量

$M_p = e^{-\pi\zeta}/\sqrt{1-\zeta ^2} \times 100 \%$

超调量与$\omega_n$无关，只与$\zeta$有关。直观上的解释：阻尼比不变（阻尼角不变）的情况下，$\omega_n$的变化只是让响应波形产生时间上的缩放。

 5) 调节时间

若误差带为$5\%$，$t_s=\frac{3.5}{\sigma}$

即欠阻尼系统的调节时间只与极点的实部有关。直观上的解释：

a. 二阶系统的时域信号为$e^{-\sigma t}$与正/余弦的乘积，其包络为$e^{-\sigma t}$，只与$\sigma$有关

b. 实部越小，越靠近虚轴，越接近等幅振荡，所以到达稳态越慢。随着$\sigma$的增加，振荡衰减越快，到达稳态也就越快。

c. 考虑到$\sigma=\zeta \omega_n$：

    c.1) 若$\omega_n$不变，那么阻尼系数$\zeta$越大，调节时间越短；

    c.2) 若$\zeta$不变，那么$\omega_n$越大，系统振荡越快，于是调节时间越短。

 

从上面的分析可看出，各指标之间是有矛盾的，比如上升时间和超调量，或者说响应速度和阻尼程度。要想上升时间越快，就需要阻尼越小，于是超调量就会越大。

总结：

上升时间$t_r$由$\omega_n$决定；

超调量$M_p$由$\zeta$决定；

稳定时间$t_s$由$\sigma$决定。

对于更复杂的系统，上述内容仍然可以用来作为一般性的设计指导。例如，若上升时间太长，可以试着提高无阻尼自然频率；如果过冲太大，可以增加阻尼；如果稳定时间太长， 可以将极点向左移动。

 

二阶系统的另一种表达式

$H(s)=\frac{\omega_d ^2}{(s+\sigma)^2+\omega_d^2}$

$h(t)=[e^{-\sigma t}sin\omega _d t]u(t)$

上面的式子中，系统工作于欠阻尼状态。可以看出，对欠阻尼系统，其阶跃响应的包络可以用一个一阶系统$e^{-\sigma t}u(t)$来描述。

 这种写法可以比较容易地看出$\omega_d$和$\sigma$，或者说可以比较简单地写出系统的极点$-\sigma \pm j\omega_d $

 

高阶系统

高阶系统总可以分解为多个一阶和二阶系统的级联，高阶系统的特性有时可以从这个角度去理解。

 

终值定理

对于稳定信号，其拉普拉斯变换极点要么在左半平面，要么在原点。当时间趋于无穷远，所有左半平面的极点所对应的分量都将逐渐衰减并最终消失，只有极点s=0所对应的分量能留下来，这个分量的值就是部分分式分解后$\frac{A}{s}$这一项的系数$A$。按部分分式分解方法，终值定理就是

$\lim \limits_{t \to \infty} y(t) = \lim \limits_{s \to 0}sY(s)$

 

DC增益

DC增益可看做系统对单位阶跃响应的终值。我们知道单位阶跃信号的拉普拉斯变换为$\frac{1}{s}$，于是DC增益就是

$GAIN_{DC}=\lim \limits_{s \to 0}G(s)$

 

含有零点的二阶系统

我们可以通过部分分式分解将其分解为两个不含零点的一阶系统，每个一阶系统的分子（不含$s$的常数）与不含零点的二阶系统相比不一样，但分母一样。而一阶系统的分子控制的是该部分分式项的增益。由此可以推断出，零点将影响各一阶项的增益。或者说，零点不影响各响应成分的形式，但影响各响应成分的量比/大小。

当零点和极点相同时，零点因子和极点因子可以消去，于是该极点项消失。由此推断，靠近极点的零点将削弱该极点对应的分量。

除了上面的分解方法，我们还可以将系统分解为两个二阶系统之和，其中一个是不含零点的二阶系统，另一个的零点在原点：

$G(s)=\frac{1}{s^2+2\zeta s+1} + \frac{s/\alpha\zeta}{s^2+2\zeta s+1}$

我们知道s表示微分，于是上面式子中的第二项就可以表示为一个不含有零点的二阶系统和一个微分器的级联。

对不含零点的二阶系统，其单位阶跃响应首先加速上升以跟踪阶跃信号，在到达稳态终值前上升速度逐渐变慢，然后根据$\zeta$情况衰减振荡或不振荡。

将上述过程微分后，最初的加速上升过程将表现为一个较大的过冲。

于是可以推断，靠近原点的附加零点将带给系统较大的过冲（远大于不含零点的二阶系统）。

根据极点和零点形式的不同，含有零点的二阶系统分以下几种情况。

1. 实数负零点和实数极点

当零点在最右侧极点的右侧，单位阶跃响应将有过冲。

2. 实数负零点和复数极点

$G(s)=\frac{s-s_0}{s^2+2\zeta\omega_n+\omega_n^2}$。

这个时候极点和零点是不可能消去的。当零点与极点较近甚至在极点实部右侧（靠近原点）时，过冲较大[微分效果强]；当零点远离原点，根据Laplace反变换性质，因微分所导致的过冲效应将趋缓（$X(s+s_0) \rightarrow e^{-s_0t}x(t)$，有衰减项）。

3. 实数正零点

如果零点在正轴上， 此时带积分的分式将有一个负号。于是系统单位阶跃响应在时间原点附近将有一个下冲。

4. 复数零点和复数极点

仅考虑零点和极点的虚部相等的情况。

当零点和极点重叠，二者将消去；当零点逐渐远离极点，“相消”的效应将逐渐消失，过冲逐渐显现。

 

含有附加实极点的三阶系统

可看做二阶系统和一阶系统的级联。一阶系统的特性已分析过，于是可推断复数极点实部附近的附加极点将增加上升时间（响应被衰减了甚至没有过冲了），当极点开始远离原点，附加极点的影响将逐渐消失。

 

传递函数零极点的影响

一般来说，零点减小阻尼，增大超调，提前峰值时间；极点增大阻尼，减小超调，延后峰值时间。

 

PID效果分析

积分项能够消除稳态误差，但它（在输出还没有越过稳态点时）会对输出的误差进行累积，这样在越过稳态点后就需要更大的“力气”去把输出“拉回来”，所以积分项会加剧系统振荡，增大超调；

反之，微分项可以减小系统振荡，或者说降低上升时间，减少超调。

[ 此处注意区分PID的积分/微分项与最终系统函数中的积分/微分项的效果。 ] 

 

执行机构和传感器之间近似刚体连接的情形

首先近似为理想刚体。以平面转轴为例。输入为施加在臂上的力，输出为轴角加速度。输入输出关系为$G(s)=k\frac{1}{s^2}$。

然后考虑有一定柔韧性的非理想刚体。一个可参考例子是音叉（这个例子是否合适？）。对音叉施加冲击后，它会嗡嗡振动较长的一段时间。这说明柔韧连接件的阻尼很小，于是整个系统就有一个小阻尼（轻阻尼）的极点。如果我们用电机来驱动轴，那么电机的转轴也有一定的柔韧性。最终的系统将有靠近的复数零极点且阻尼较小。

比如下面的方程：

$G(s)=\frac{(s+0.1)^2+6^2}{s^2[(s+0.1)^2+6.6^2]}$

从上面的方程可看出，零极点近似抵消，所以柔韧连接对近似刚体连接的系统的稳定性不会产生决定性影响。

 

执行机构和传感器之间非刚体连接