泛函和变分法导引

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问题的起源

我们知道，平面上两点间直线距离最短。然而如何证明呢？

假设两点坐标分别为(0,0)和(a,b)，连接两点之间的曲线方程为y=f(x)，那么曲线在两点间的长度可以写为：

$s=\int_{0}^{a}\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$

两点间距离最短，即上式取最小值，同时满足约束条件f(0)=0，f(a)=b。这就是最简单的变分问题。

在上面的式子中，距离s是函数f(x)的函数，或称泛函。一般的函数f(x)在实数x和实数f(x)之间建立对应关系；泛函$\Pi (x)$在函数f(x)和实数$\Pi (x)$之间建立对应关系。

变分法假定泛函取得极值的函数f(x)存在，通过变分法求得泛函取极值时f(x)所需满足的微分方程。

若$f_0(x)$是一个局部极小值，$f_1(x)$是一个在端点(0,0)和(a,b)取值为0且有一阶导数的函数，则可得下面的式子：

$A[f_0] \leq A[f_0+\epsilon f_1]$

因为$A[f_0]$取极小值（即极小值在$\epsilon=0$处取得），因此对任意函数$f_1$，$A[f_0+\epsilon f_1]$对$\epsilon$的导数在$\epsilon=0$时必为0：

$\frac{d}{d\epsilon}\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+[f_0'(x)+\epsilon{}f_1'(x)]^2}dx|_{\epsilon=0}$

$=\int_{x_1}^{x_2}\frac{ (f_0'(x) + \epsilon f_1'(x))f_1'(x) } {\sqrt {1+[f_0'(x) + \epsilon f_1'(x)]^2} } \big|_{\epsilon =0} dx$

$=\int_{x_1}^{x_2} \frac { f_0'(x) f_1'(x) } { \sqrt{1+[f_0'(x)]^2} } dx$

$=\int_{x_1}^{x_2} \frac { f_0'(x) } { \sqrt{1+[f_0'(x)]^2} } df_1(x)$

$=\frac{f_0'(x)f_1(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2} }\big|_{x_1}^{x_2} - \int_{x_1}^{x_2}f_1(x)\frac{d}{dx}\big( \frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2} } \big) dx$

$=0$

因为$f_1(a)=f_1(b)=0$，上式

$=- \int_{x_1}^{x_2}f_1(x)\frac{d}{dx}\big( \frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2} } \big) dx$

$=0$

根据变分法基本引理（待补充），$\frac{d}{dx}\big[ \frac{f_0'(x)} {\sqrt{1+[f_0'(x)]^2} } \big]=0$，

于是$\frac{d^2f_0}{dx^2}=0$，

即$f_0(x)$为一直线。

更多说明

还用两点间最短距离作例子，连接两点间的曲线可以有无数条，它们组成了一个集合（对应的，在一般函数中，自变量的取值范围也是一个集合）。曲线长度可表示为s(y(x))，y(x)称为自变函数（联系一元函数中的自变量概念）。

在一元函数中，x变化到附近的一点可写作x+Δx；相应的，从y(x)变化到接近的函数叫做变分，写作y(x)+δy(x)。注意此时整个函数变了（上面的例子中，$f(x)$从$f_0(x)$变到$f_0(x)+\epsilon f_1(x)$）。相应的，s(y(x))也会产生变化。