线性代数基础
行列式
二元线性方程组的求解：
\[\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2
\end{cases}
\]
当 \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\not ={0}\) 时方程组由唯一解
二阶行列式：
将系数提取并记为：\(D =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\)
表达式 \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\) 即为二阶行列式
\[D =\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix} =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\]
三阶行列式：
\[D =\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} = \text{主对角线相乘相加} - \text{副对角线相乘相加}
\]
行列式与矩阵的区别
行列式：
\[\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
- 行数等于列数
- 共有 \(n^2\) 个元素
- 行列式的结果是一个数值
矩阵：
\[\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
\]
- 行数可以不等于列数
- 共有 \(m\times n\) 个元素
- 本质上就是一个数表
矩阵的特殊形式：
行向量与列向量：
\[(a_1\ a_2\ \cdots\ a_n)\qquad
\begin{pmatrix}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{n}
\end{pmatrix}
\]
特殊矩阵
方阵：
行和列一样的就是方阵，一般叫做 \(n\) 阶方阵
\[A=A_{n\times n}=A_n=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
=(a_{ij})_{n\times n}
\]
上三角矩阵与下三角矩阵：
\[\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix} \qquad
\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
\]
对角矩阵和单位矩阵：
\[\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{pmatrix} \qquad
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix} \qquad
\]
矩阵同型和矩阵相等
同型矩阵：两个矩阵的行列数相同
矩阵相等：在同型的前提下，各位置元素也相等
矩阵的基本运算
矩阵加减法：
有两个 \(m\times n\) 的矩阵 \(A=(a_{ij}),\ B=(b_{ij})\)
\[A\pm B=(a_{ij}\pm B_{ij})
\]
矩阵数乘：
数乘运算，数 \(\lambda\) 与矩阵 \(A\) 的乘积
\[\lambda A=A\lambda=
\begin{pmatrix}
\lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\
\lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn}
\end{pmatrix}
\]
矩阵乘法：
设矩阵 \(A\) 大小 \(m\times p\)，矩阵 \(B\) 大小 \(p\times n\)，那么其乘积为矩阵 \(C\)，大小 \(m\times n\)，记作 \(C=AB\)，其中元素 \(c_{ij}\) 可表示为：
\[C_{ij}=\sum_{k=1}^pa_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{ip}b_{pj}
\]
矩阵乘法的性质：
- 矩阵乘法没有交换律：\(AB\not ={BA}\)
- \((AB)C=A(BC)\)
- \(\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)\)
- \(A(B+C)=AB+AC\)
- \((B+C)A=BA+CA\)
矩阵表示方程组
\(A\) 为系数矩阵，\(X\) 是未知数矩阵，\(B\) 是常数矩阵：
\[\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\
\cdots \\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m
\end{cases} \quad
\text{即}\quad
AX=B
\]
其中：
\[A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}\quad
X=
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}\quad
B=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix}
\]
矩阵变换
矩阵转置：
即行列调换位置，矩阵 \(A\) 的转置记作 \(A^T\)
矩阵转置的性质：
- \((A^T)^T=A\)
- \((A+B)^T=A^T+B^T\)
- \((\lambda A)^T=\lambda A^T\)
- \((AB)^T=B^TA^T\ \Rightarrow\ (A_1A_2\cdots A_n)^T=A_n^T\cdots A_2^TA_1^T\)
对称矩阵：
如果满足 \(A^T=A\)，那么 \(A\) 就是对称矩阵
即要求 \(a_{ij}=a_{ji}\)
逆矩阵：
若 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，如果存在 \(n\) 阶方阵 \(B\)，使得 \(AB=BA=I\text{(单位阵)}\)
则称 \(B\) 是 \(A\) 的逆矩阵，记作 \(B=A^{-1}\)
逆矩阵的性质：
- \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)
- \((A^{-1})^{-1}=A\)
- \((\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}\)
- \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
矩阵的秩
对于一个 \(s\times n\) 的矩阵：
\[A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn}
\end{pmatrix}
\]
矩阵 \(A\) 的每一行可以看作一个 \(N\) 维向量：\(\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}),\ i=1,2,\cdots,s\)
\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 称为 \(A\) 的行向量
矩阵 \(A\) 的每一列可以看作一个 \(S\) 维向量：\(\beta_j=\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{sj}\end{pmatrix},\ j=1,2,\cdots,n\)
\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n\) 称为 \(A\) 的列向量
其中行向量或列向量的极大线性无关组中向量的个数称为矩阵的秩
矩阵的行秩和列秩是相等的
向量的内积
设有 \(n\) 维向量：\(x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\cdots\\x_n\end{pmatrix},\ y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\cdots\\y_n\end{pmatrix}\)
记 \([x,y]=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n\)，将 \([x,y]\) 叫做向量的内积
\[[x,y]=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\cdots\\y_n\end{pmatrix}=x^Ty
\]
内积的性质：
- 对称性：\([x,y]=[y,x]\)
- 线性性质：\([\lambda x,y]=\lambda[x,y]\)
- 线性性质：\([x+y,z]=[x,z]+[y,z]\)
向量的长度
- \(n\) 维向量 \(x\) 的长度：\(||x||=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}\ge 0\)
- 当 \(||x||=1\) 称为单位向量
- 齐次性：\(||\lambda x||=|\lambda|\cdot||x||\)
- 三角不等式：\(||x+y||\le||x||+||y||\)
向量的正交
- 若两个向量 \(x\) 和 \(y\) 满足 \([x,y]=0\)，则称向量 \(x\) 和 \(y\) 正交
- 零向量与任何向量都正交
- 两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组
- 若 \(a_1,a_2,\cdots,a_r\) 是两两正交的非零向量，则 \(a_1,a_2,\cdots,a_r\) 线性无关
规范正交基
\(n\) 维向量 \(e_1,e_2,\cdots,e_r\) 是向量空间 \(V\subset R^n\) 中的向量，满足
- \(e_1,e_2,\cdots,e_r\) 是向量空间 \(V\) 中的一个基
- \(e_1,e_2,\cdots,e_r\) 两两正交
- \(e_1,e_2,\cdots,e_r\) 都是单位向量
则称 \(e_1,e_2,\cdots,e_r\) 是 \(V\) 的一个规范正交基
浙公网安备 33010602011771号