2020.11.27【NOIP提高A组】模拟 总结

2020.11.27【NOIP提高A组】模拟

怒刚 \(T1\) \(2h\) 最后刚了个寂寞，\(T2\) 没看懂题意觉得很难......错误题意下的 \(60ptes\) 也打不动。我怕是个废人了......

 

T1. 6897 第一题(diyiti)

一眼此题线性做法，然后就没有然后了。正解比较巧妙也不难，早上怎么就想不出来呢？！

一个点可能被其父亲或儿子感染，考虑分开维护（事实证明一起维护是没前途的，至少我不行）。

首先考虑怎么维护被儿子感染：当一个点被感染或者一个感染点被解封（操作 \(2\)）时，将其父亲加入 危险集合；同时对于每个点维护其被感染且没有被封锁的儿子的个数，这个可以在操作 \(1,2\) 时简单维护；操作 \(4\) 时枚举危险集合，若元素的已感染且没有封锁的儿子个数大于等于 \(1\) 且该点未被封锁，那么该点被其儿子感染。

维护被父亲也不难：当一个点被感染或一个感染点被解封时，将其加入 感染集合，当一个未被感染点被解封时，将其加入父亲的 危险儿子集合，但需要注意，如果其父亲已被感染，则需要将其加入 感染集合；操作 \(4\) 时，枚举 感染集合 中未被封锁的点，然后枚举其 危险儿子集合 并判断是否能感染儿子。

这样子就可以 \(O(n + q)\) 维护啦！

注意细节：1. 一开始要把所有点加入其父亲的 危险儿子集合；2. 操作 \(4\) 后一定把原来集合清空后再加入新的点；3. 如果加集合时偷懒没判重那一定要小心加重之类的（比如维护已感染且没有被封锁的儿子个数时）。

 

T2. 第二题(dierti)

十分不争气地说出自己没看懂题面的现实（原地升天）。

出题人给的正解，树状数组扫描线 \(emmm\)...... 果断 \(Pass!\)，我选择线段树！

线段树做法十分巧妙，虽然思路简单自然但我并不觉得自己考场就一定能想出来（而且这周状态这么差）。

首先转化题意，黑点 \(u\) 的 \(f_u\) 等与 其到根路径上的黑点数 + 不包含 \(u\) 的子树中有黑点的点的个数。

所以我们可以以点 \(u\) 对其子树的 \(f\) 的贡献分为四种：

1. 以 \(u\) 为根子树内没有黑点，此时 \(u\) 对没有答案任何贡献。
2. 以 \(u\) 为根的子树内的黑点全在 \(u\) 的某一棵子树中，此时 \(u\) 对除该子树内的点有 \(1\) 的贡献（并不包括 \(u\)）
3. 以 \(u\) 为根的子树内的黑点至少分布在 \(u\) 的两棵子树中，此时 \(u\) 对所有子孙有 \(1\) 的贡献。
4. \(u\) 为黑点，此时对以 \(u\) 为根子树内所有点有 \(1\) 的贡献。

其中 \(3, \ 4\) 可以看作一种，所以 每个节点的状态最多只可能被修改两次。

考虑逐渐增加黑点的过程：

• 设此次将点 \(u\) 变为黑点
• 首先改变 \(u\) 的状态（\(1 \rightarrow 2 \ or \ 2 \rightarrow 3\)）
• 然后向上更新 \(u\) 的祖先的状态，注意当到一个非 \(1\) 状态的点就停下（显然已经无法继续向上更新祖先状态），注意 \(u\) 在变为黑点 前 的状态
• 最后统计黑点的 \(\sum{f}\) 并乘入答案
• 注意更新状态时也要更新贡献

需维护所有点的 \(f\)，黑点的 \(f\)，黑点的个数。\(DFS\) 序重排后即是区间操作，线段树维护即可。

 

T3. 6899 第三题(disanti)

题意即要求 \(\sum{(a_i - b_i)^2}\) 最小。

\(\sum{b_i}\) 恒为 \(C\)，由基本不等式可知：\(a_i - b_i\) 尽可能均匀时有最小值（由于 \(b_i \geq 0\) 所以无法保证一定相等）。

将 \(a_i\) 从小到大排序，枚举 \(i\) 使得 \(b_{1..i} = 0\)，此时可以求得差值为 \(\frac{C - \sum_{j = i + 1}^{n}{a_j}}{n - i}\)，若 \(b_{i + 1} = a_{i + 1} + \frac{C - \sum_{j = i + 1}^{n}{a_j}}{n - i} \geq 0\)，那么此时势必有最小值（别问，问就是不会证）。