53. 最大子序和（C++）

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• 题目
• 分析与题解
  • 暴力循环
  • 动态规划(状态转移方程1)
  • 自底向上（状态转移方程2）

题目

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

分析与题解

暴力循环

比较容易想到的是暴力解题，即穷举所有的子区间：

• 使用双层循环，穷举所有的子区间；
• 然后再对子区间内的所有元素求和；
• 时间复杂度是立方级别

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int max = INT_MIN;
        for(int i=0;i<n;i++){
            int sum=0;
            for(int j=i;j<n;j++){
                sum += nums[j];
                if(sum > max)
                    max = sum;
            }
        }
        return max;
    }
};

需要注意边界的问题：首先在外层循环遍历数组，作为求非连续数列的起点，然后从此出发逐个元素相加，每添加一个新的元素，sum值进行变化都需要与最终的结果进行比较，取较大值，最终一直添加到元素末位。

动态规划(状态转移方程1)

将问题切分为最优子问题进行求解。

①定义状态

我们使用一个数组或者哈希表dp存储子问题的答案。例如dp[i]代表以nums[i]结尾的连续子数组的最大和。

②思考转移状态方程

根据状态的定义，由于 nums[i] 一定会被选取。并且 dp[i]所表示的连续子序列与 dp[i - 1] 所表示的连续子序列（有可能）就差一个 nums[i] 。

先考虑最简单的情况，假设数组 nums 全是正数，那么一定有 dp[i] = dp[i - 1] + nums[i]。

但在一般情况下 dp[i - 1] 有可能是负数，例如前几个数都是负数，突然来了一个正数。于是分类讨论：

• 如果 dp[i - 1] >= 0，那么可以把 nums[i] 直接接在 dp[i - 1] 表示的那个数组的后面。
• 如果 dp[i - 1] < 0，那么加上前面的数反而越来越小了，不如以nums[i]为起点作为dp[i]数值。

状态转移方程即为：

\[d p[i]=\left\{\begin{array}{ll} d p[i-1]+n u m s[i], & \text { if } \quad d p[i-1] \geq 0 \\ \text { nums }[i], & \text { if } \quad d p[i-1]<0 \end{array}\right.\]

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int sum = 0;
        int result = INT_MIN;
        for(int i=0;i<n;i++){
            sum+=nums[i];
            result = max(result, sum);
            if(sum < 0)
                sum = 0;
        }
        return result;
    }
};

自底向上（状态转移方程2）

对于dp[i-1]的讨论，最终无非是求子序列和的最大值，因此状态转移方程可以简写为：

\[d p[i]=\max \{n u m s[i], d p[i-1]+n u m s[i]\} \]

因此我们不再讨论dp[i-1]的正负，直接将是/否添加dp[i-1]的值比较并取较大值。代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if(n==0) return 0;
        vector<int> dp(n);
        dp[0] = nums[0];
        int result = dp[0];
        for(int i=1;i<n;i++){
            dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i]);
            result = max(result, dp[i]);
        }
        return result;
    }
};

需要注意的是状态dp代表的是以nums[i]结尾的子序列和的最大值，但是对于所给序列的最大值并不一定以包含末尾元素，所以需要设置额外的变量来进行记录和比较。