数值分析·学习 | 拉格朗日插值法matlab实现

​

目录

前言

一、拉格朗日（Lagrange）插值是什么？

二、matlab实现代码

1.线性插值：

2.抛物线插值：

3.拉格朗日（Lagrange）插值：

总结：

---

前言

本篇内容为个人所学知识分享

---

一、拉格朗日（Lagrange）插值是什么？

对于构造通过n+1个不同的节点​编辑的n次插值多项式​编辑,假定它满足条件

​编辑

为了构造​编辑，我们先定义n次插值基函数。

若n次多项式​编辑在n+1个节点​编辑上满足条件

​编辑

则称这n+1个n次多项式​编辑为节点​编辑上的n次插值基函数。

且​编辑

使得插值多项式可以表示为

​

编辑

由​编辑的定义，知

​编辑

形如上式的插值多项式​编辑便称为拉格朗日（Lagrange）插值多项式。线性插值和抛物线插值只是拉格朗日插值的特殊情况。

拉格朗日（Lagrange）插值多项式的另外一种表示形式如下：

​编辑

其中

​编辑

​编辑

---

二、matlab实现代码

1.线性插值：

即n=1的时候,一次的插值函数，即已知条件为两个插值节点及其值

function y0=Linear_interpolation(x,y,x0)
%功能：线性插值
%输入：x为插值节点，y为插值节点对应的值，x0为计算点
%输出：x0处的值
y0=y(1)+(y(2)-y(1))/(x(2)-x(1))*(x0-x(1));%点斜式
y0=y(1)*(x(2)-x0)/(x(2)-x(1))+y(2)*(x0-x(1))/(x(2)-x(1));%两点式
end

2.抛物线插值：

即n=2的时候，二次的插值函数，即已知条件为三个插值节点及其值

function y0=Parabolic_interpolation(x,y,x0)
%功能：抛物线插值
%输入：x为插值节点，y为插值节点对应的值，x0为计算点
%输出：x0处的值
y0=y(1)*(x0-x(2))*(x-x(3))/(x(1)-x(2))/(x(1)-x(3))+y(2)*(x0-x(1))*(x0-x(3))...
    /(x(2)-x(1))/(x(2)-x(3))+y(3)*(x0-x(1))*(x0-x(2))/(x(3)-x(1))/(x(3)-x(2));
end

3.拉格朗日（Lagrange）插值：

（一般情况）即已知条件为一串插值节点及其值

function y0 = Lagrange_interpolation(x,y,x0)
%功能：拉格朗日插值多项式求解
%输入：x为插值节点，y为插值节点对应的值，x0为计算点集
%输出：x0处值的集合y0
y0 = zeros(1,length(x0));
for i = 1:1:length(x0)  %循环作用：遍历x0
   X = ones(1,length(x));  
    for k = 1:1:length(x)%循环作用：(x0(i)-x(j))/(x(k)-x(j))的加和;
        for j= 1:1:length(x)%循环作用：(x0(i)-x(j))/(x(k)-x(j))的乘积
            if j ~= k  
                X(k) = X(k) * (x0(i)-x(j)) / (x(k)-x(j));
            end
        end 
        y0(i) = y0(i) + X(k)*y(k);  
    end
end
end

---

总结

拉格朗日插值的插值对象为：一串不同的插值节点，且知道插值节点及其值。

代码部分由于线性插值和抛物线插值是拉格朗日的特殊情况，所以小编在编写的时候，为了让看起来没有重复，选择了直接按照运算形式编写代码。

​