动态树讲解

• MAKE TREE() — 新建一棵只有一个结点的树。

• CUT(v) — 删除 v 与它的父亲结点 parent(v) 的边，相当于将点 v 的子树分离了出来。

• JOIN(v,w) — 让 v 成为 w 的新的儿子。其中 v 是一棵树的根结点，并且 v 和 w 是不同的两棵树中的结点。

• FIND ROOT(v) — 返回 v 所在的树的根结点。搞清了这个问题，我们也容易扩充这个数据结构，维护每个点到它所属的树的根结点的路径的一些信息，例如权和、边权的最大值、路径长度等。

定义：

　　首先来定义一些量：

　　access(X)：表示访问X点（之后会有说明）。

　　Preferred child（偏爱子节点）：如果最后被访问的点在X的儿子P节点的子树中，那么称P为X的Preferred child，如果一个点被访问，他的Preferred child为null(即没有)。

　　Preferred edge（偏爱边）：每个点到自己的Preferred child的边被称为Preferred edge。

　　Preferred path（偏爱路径）：由Preferred edge组成的不可延伸的路径称为Preferred path。

这样我们可以发现一些比较显然的性质，每个点在且仅在一条Preferred path上，也就是所有的Preferred path包含了这棵树上的所有的点，这样一颗树就可以由一些Preferred path来表示（类似于轻重链剖分中的重链），我们用splay来维护每个条Preferred path，关键字为深度，也就是每棵splay中的点左子树的深度都比当前点小，右节点的深度都比当前节点

的深度大。这样的每棵splay我们称为Auxiliary tree(辅助树)，每个Auxiliary tree的根节点保存这个Auxiliary tree与上一棵Auxiliary tree中的哪个点相连。这个点称作他的Path parent。

操作：

　　access(X)：首先由于preferred path的定义，如果一个点被访问，那么这个点到根节点的所有的边都会变成preferred edge，由于每个点只有一个preferred child，所以这个点到根节点路径上的所有的点都会和原来的preferred child断开，连接到这条新的preferred path上。假设访问X点，那么先将X点旋转到对应Auxiliary tree的根节点，然后因为被访问的点是没有preferred child的，所以将Auxiliary tree中根节点(X)与右子树的边断掉，左节点保留，将这个树的path parent旋转到对应Auxiliary tree的根节点，断掉右子树，连接这个点与X点，相当于合并两棵Auxiliary tree，不断地重复这一操作，直到当前X所在Auxiliary tree的path parent为null时停止，表示已经完成当前操作。

find root(x)：找到某一点所在树的根节点（维护森林时使用）。只需要access(X)，然后将X节点旋到对应Auxiliary tree的根节点，然后找到这个Auxiliary tree中最左面的点。

cut(x)：断掉X节点和其父节点相连的边。首先access(X)，然后将X旋转到对应Auxiliary tree的根节点，然后断掉Auxiliary tree中X和左节点相连的边。

link(join)(x,y)：连接点x到y点上。即让x称为y的子节点。因为x为y的子节点后，在原x的子树中，x点到根节点的所有的点的深度会被翻转过来，所以先access(x)，然后在对应的Auxiliary tree中将x旋转到根节点，，然后将左子树翻转(splay中的reverse操作)，然后access(y)，将y旋转到对应Auxiliary tree中的根节点，将x连到y就行了。

http://www.cnblogs.com/BLADEVIL/p/3510997.html
http://www.cnblogs.com/zinthos/p/3900225.html