背包问题

0/1 背包问题

给定 N 件物品，每件物品有 重量 w[i] 和 价值 v[i]，现有一个容量为 W 的背包，求能装入的最大总价值。

思路

1. 定义状态

   • dp[i][j] 表示前 i 件物品，在容量 j 的背包下的最大价值。

2. 状态转移方程

   • 不选第 i 件物品：dp[i][j] = dp[i-1][j]
   • 选第 i 件物品（前提是能放得下）：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

3. 初始化

   • dp[0][j] = 0（背包容量为 j，但没有物品）
   • dp[i][0] = 0（有物品，但背包容量为 0）

4. 优化

   • 使用 滚动数组 降低空间复杂度，从 dp[i][j] 改为 dp[j]，逆序遍历 j 以保证状态不被覆盖。

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   • 0/1 背包问题的递归解法（C#）

     递归方法是一种 自顶向下（Top-Down） 的方式来解决 0/1 背包问题，适合理解 子问题拆解 的思想。但由于存在大量重复计算，需要使用 记忆化搜索（Memoization） 来优化效率。

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     递归思路

     1. 定义递归函数：

        • KnapsackRecursive(n, capacity) 表示前 n 个物品在总容量 capacity 下的最大价值。

     2. 状态转移方程：

        • 如果不选当前物品：KnapsackRecursive(n - 1, capacity)
        • 如果选当前物品（前提是容量足够）： KnapsackRecursive(n−1,capacity−weights[n−1])+values[n−1]KnapsackRecursive(n - 1, capacity - weights[n-1]) + values[n-1]KnapsackRecursive(n−1,capacity−weights[n−1])+values[n−1]
        • 取两者的最大值： dp[n,capacity]=max⁡(KnapsackRecursive(n−1,capacity),KnapsackRecursive(n−1,capacity−weights[n−1])+values[n−1])dp[n, capacity] = \max(KnapsackRecursive(n - 1, capacity), KnapsackRecursive(n - 1, capacity - weights[n-1]) + values[n-1])dp[n,capacity]=max(KnapsackRecursive(n−1,capacity),KnapsackRecursive(n−1,capacity−weights[n−1])+values[n−1])

     3. 终止条件：

        • 当 n == 0 或 capacity == 0 时，返回 0（没有物品或容量为 0）。

     4. 优化：记忆化搜索

        • 使用 memo[n, capacity] 记录已经计算过的结果，避免重复计算，提高效率。

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