回溯法

原文:https://my.oschina.net/u/3024426/blog/4689026

回溯法（Back Tracking Method）（探索与回溯法）是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为 “回溯点”。

可以把回溯法看成是递归调用的一种特殊形式。

代码方面，回溯算法的框架：

result = []
def backtrack(路径, 选择列表):
    if 满足结束条件:
        result.add(路径)
        return

    for 选择 in 选择列表:
        做选择
        backtrack(路径, 选择列表)
        撤销选择

其核心就是 for 循环里面的递归，在递归调用之前「做选择」，在递归调用之后「撤销选择」，特别简单。

总结就是：

循环 + 递归 = 回溯

引言

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就 “回溯” 返回，尝试别的路径。

回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为 “回溯点”。

许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有 “通用解题方法” 的美称。

算法思想

回溯（backtracking） 是一种系统地搜索问题解答的方法。为了实现回溯，首先需要为问题定义一个解空间（solution space），这个空间必须至少包含问题的一个解（可能是最优的）。下一步是组织解空间以便它能被容易地搜索。典型的组织方法是图 (迷宫问题) 或树 (N 皇后问题)。一旦定义了解空间的组织方法，这个空间即可按深度优先的方法从开始节点进行搜索。

回溯方法的步骤如下：

• 定义一个解空间，它包含问题的解。
• 用适于搜索的方式组织该空间。
• 用深度优先法搜索该空间，利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。

回溯算法的一个有趣的特性是在搜索执行的同时产生解空间。在搜索期间的任何时刻，仅保留从开始节点到当前节点的路径。因此，回溯算法的空间需求为 O（从开始节点起最长路径的长度）。这个特性非常重要，因为解空间的大小通常是最长路径长度的指数或阶乘。所以如果要存储全部解空间的话，再多的空间也不够用。

 

这段代码实现了经典的回溯算法来生成一个数组的所有排列。让我们逐步分析代码的执行过程，以确定最终的控制台输出。

1. 初始化数组和结果列表：
   • int[] nums = { 1, 2, 3 }; 初始化一个包含三个元素的数组。
   • List<List<int>> result = new List<List<int>>(); 初始化一个空的列表来存储所有的排列结果。
2. 调用回溯函数：
   • Backtrack(nums, new List<int>(), result); 从空列表开始调用回溯函数。
3. 回溯函数的工作原理：
   • 终止条件：如果 tempList.Count == nums.Length，即临时列表的长度等于原数组的长度，说明已经找到了一个完整的排列，将其添加到结果列表中。
   • 选择：遍历数组 nums 中的每个元素，如果当前元素不在 tempList 中，则将其添加到 tempList 中。
   • 递归调用：对更新后的 tempList 进行递归调用，继续构建排列。
   • 撤销选择：递归调用返回后，移除最后添加的元素，以尝试其他可能的排列。
4. 遍历结果列表并打印：
   • 使用 foreach 循环遍历结果列表 result，并将每个排列转换为字符串格式输出。

排列生成过程：

• 初始状态：tempList = []
• 第一次选择：可以选择 1, 2, 或 3。
  • 选择 1：tempList = [1]，递归。
    • 选择 2：tempList = [1, 2]，递归。
      • 选择 3：tempList = [1, 2, 3]，找到一个排列 [1, 2, 3]。
      • 撤销选择 3，tempList = [1, 2]。
    • 选择 3：tempList = [1, 3]，递归。
      • 选择 2：tempList = [1, 3, 2]，找到一个排列 [1, 3, 2]。
      • 撤销选择 2，tempList = [1, 3]。
    • 撤销选择 3，tempList = [1]。
  • 选择 2：tempList = [2]，递归。
    • 选择 1：tempList = [2, 1]，递归。
      • 选择 3：tempList = [2, 1, 3]，找到一个排列 [2, 1, 3]。
      • 撤销选择 3，tempList = [2, 1]。
    • 选择 3：tempList = [2, 3]，递归。
      • 选择 1：tempList = [2, 3, 1]，找到一个排列 [2, 3, 1]。
      • 撤销选择 1，tempList = [2, 3]。
    • 撤销选择 3，tempList = [2]。
  • 选择 3：tempList = [3]，递归。
    • 选择 1：tempList = [3, 1]，递归。
      • 选择 2：tempList = [3, 1, 2]，找到一个排列 [3, 1, 2]。
      • 撤销选择 2，tempList = [3, 1]。
    • 选择 2：tempList = [3, 2]，递归。
      • 选择 1：tempList = [3, 2, 1]，找到一个排列 [3, 2, 1]。
      • 撤销选择 1，tempList = [3, 2]。
    • 撤销选择 2，tempList = [3]。
• 撤销选择 2，tempList = []。
• 撤销选择 1，回到初始状态。

控制台输出：

复制代码

	1, 2, 3
	1, 3, 2
	2, 1, 3
	2, 3, 1
	3, 1, 2
	3, 2, 1