数学知识

exgcd

对于 $\mathrm{ax+by=(a,b)}$ 的方程必然有解 $\mathrm{(x,y)}$.  

$\mathrm{b=0}$ 时解为 $\mathrm{(1,0)}$.  

$\mathrm{b}$ 不等于 $\mathrm{0}$ 时考虑递归求解.  

考虑求出 $\mathrm{(b,a \mod b)}$ 时的解 $\mathrm{(x[2], y[2])}$ 则 $\mathrm{(x[1], y[1])}$ 为：

$\mathrm{x[1]=y[2]}$, $\mathrm{y[1]=x[2]-(a/b) \times y[2]}$.   

若想求 $\mathrm{ax+by=c}$, 则 $\mathrm{c}$ 要整除 $\mathrm{(a,b)}$.   

$\mathrm{x}$ 乘上 $\mathrm{c/(a,b)}$ 即为一个解，通解增量为 $\mathrm{b/(a,b)}$.   

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long 
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) 
using namespace std; 
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if(!b) {
        x = 1, y = 0;  
        return a;    
    }    
    ll gc = exgcd(b, a % b, x, y);          
    // 得到一组 x, y 
    ll t = x;        
    x = y;
    y = t - (a / b) * y;
    return gc;   
} 
int main() {
    // setIO("input"); 
    ll a, b, x0, y0; 
    scanf("%lld%lld", &a, &b);
    ll gcd = exgcd(a, b, x0, y0);     
    ll mod = b / gcd;  
    printf("%lld", (x0 % mod + mod) % mod);  
    return 0;
}

　　

青蛙的约会

来源：luoguP1516  

推一下式子，是 $\mathrm{exgcd}$ 的形式，然后求出最小解即可.  

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define ll long long 
#define pb push_back 
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) 
using namespace std;
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
    if(!b) {
        x = 1, y = 0; 
        return a; 
    }
    ll gc = exgcd(b, a % b, x, y); 
    ll t = x;  
    x = y, y = t - (a / b) * y;  
    return gc; 
}
int main() {
    // setIO("input"); 
    ll x, y, m, n, L, x0, y0; 
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &x, &y, &m, &n, &L);   
    ll a = m - n, b = L, c = y - x;   
    ll gcd = exgcd(a, b, x0, y0);  
    if(c % gcd) {
        printf("Impossible"); 
    }
    else {
        x0 *= (c / gcd);   
        ll mod = abs(b / gcd);     
        printf("%lld", (x0 % mod + mod) % mod); 
    }
    return 0; 
} 

　　

线性筛

核心思想是用每个合数最小的质因数将其筛掉.      

如果 $\mathrm{i \mod p=0}$ 则说明 $\mathrm{p}$ 后面的质数都不是最小的质数.