机器学习基石--学习笔记01--linear hard SVM
背景
支持向量机（SVM）背后的数学知识比较复杂，之前尝试过在网上搜索一些资料自学，但是效果不佳。所以，在我的数据挖掘工具箱中，一直不会使用SVM这个利器。最近，台大林轩田老师在Coursera上的机器学习技法课程上有很详细的讲授SVM的原理，所以机会难得，一定要好好把握这次机会，将SVM背后的原理梳理清楚并记录下来。这篇文章总结第一讲linear hard SVM的相关内容。
最好的分割线
之前有讲过PLA，即在线性可分的数据中，找到一条线，能够区分开正负样本，如下所示：
上面三条线，都是PLA的解，但是哪条才是最好的呢？凭直觉而言，最右边是最好的，因为右边第三条对噪声的容忍度最高。
上图中灰色区域是噪声，区域越大，噪声越大。可以发现，最右边可以容忍的噪声是最大。现在是以点的视角来观察，下面以线的视角观察，
同样的，最右边的线扩展后得到的"垫子"最厚。"垫子"的厚度通常叫做margin（边缘）。垫子扩展到最近的正负样本就停止扩展，这些在垫子边缘上的正负样本叫做支持向量（每个样本就是一个向量）。
问题来了
知道了支持向量机的定义和优点后，那么问题来了，我们要解一个什么问题？
形式化的问题定义如下
如果符合上面条件的w(平面法向量)和b（平面截距）存在，由于平面公式可以伸缩(即wTx+b=0与3wTx+3b=0表示同一个平面)，所以总可以找到一组w*和b*，使得min y(w*x+b*) = 1，那么有
经过上面的平面缩放变化，问题可以简化为如下形式
是不是看起来简单多了。
二次规划
为了进一步简化计算，将目标函数经过一番变化，可以得到如下利于优化的形式
这个问题形式和二次规划（线性规划的亲戚，）一致，所以可以使用二次规划的方法求解。二次规划的一般形式如下：
将linear hard SVM的求解公司套用QP一般形式，接下来就可以通过任何实现QP解法的工具计算求解，这里略去具体的变量映射关系，有兴趣的读者可以尝试。对于非线性问题，可以通过对x做二次转化或其他转化，然后求解。
VC维度
相比较PLA的平面，linear hard SVM得到的平面结果更苛刻，
由于有"厚垫子"，linear hard SVM不能shatter任意3个inputs，这说明有更少的dichotomies，更小的VC维度，也就有更好的泛化效果。同时，如果使用特征转换，可以使linear hard SVM进行一些更精细的分类。
总结
Linear hard SVM的解法中需要训练数据线性可分，然后通过缩放平面和等价转换，将原始问题转成QP问题求解。数据线性可分在实际情况中很难出现，所以linear hard SVM的应用价值比较有限。同时，在特征转换时，将原始数据映射到其他空间的计算无法省略（好像是废话）。接下来课程中，会使用一些更有趣的方法解决这两个问题，敬请期待。
