0x01算法设计与分析复习（一）习题解答
参考书籍：算法设计与分析——C++语言描述（第二版）
练习一
- 逆序输出正整数的各位数（递归算法求解）
#include <stdio.h>
//逆序输出正整数的各位数（递归算法求解）
void print(unsigned int n)
{
printf("%d", n%10);//基础情况
if(n>=10){
print(n/10);//递归部分
}
}
int main()
{
unsigned int n;
scanf("%d", &n);
print(n);
return 0;
}
实验结果：
123456
654321
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- 汉诺塔问题
//hanoi,汉诺塔问题求解
//将x柱上的n个圆盘经z柱移动到y柱上，任何时刻大盘不能在小盘上
#include <stdio.h>
void move(int n, char x, char y)//将圆盘x从x移到y上
{
printf("move %d from %c to %c\n", n, x, y);
}
void Hanoi(int n, char x, char z, char y)//将n个圆盘经z从x移到y
{
if(n>0){
Hanoi(n-1, x, y, z);//将n-1个盘从x移到z
move(n, x, y);//将n盘从x移到y
Hanoi(n-1, z, x, y);//将n-1个盘从z移到y
}
}
int main()
{
int n = 0;
char x = 'X', y = 'Y', z = 'Z';
scanf("%d", &n);
Hanoi(n, x, z, y);
return 0;
}
实验结果：
3
move 1 from X to Y
move 2 from X to Z
move 1 from Y to Z
move 3 from X to Y
move 1 from Z to X
move 2 from Z to Y
move 1 from X to Y
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- 排列产生算法
//排列产生算法
//给定n个自然数{0, 1, 2, ..., n-1}，输出该集合所有可能的排列（permutation）
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int i = 0;
//arr[0]~arr[k-1]排好，求arr[k]到arr[n-1]的排列
void Perm(int arr[], int k, int n)
{
if(k == n-1){
for(int i = 0; i<n; i++)
printf("%d ", arr[i]);
printf("\n");
i++;
} else if(k>=0){
//从arr[k]~arr[n-1]中拿出一个加入到已经排好的队中
for(int i = k; i<n; i++){
int tmp = arr[k];
arr[k] = arr[i];
arr[i] = tmp;
Perm(arr, k+1, n);
arr[i] = arr[k];
arr[k] = tmp;
}
}
}
int main()
{
int *arr = NULL, n = 0;
scanf("%d", &n);
arr = (int *)malloc(sizeof(int)*n);
for(int i = 0; i<n; i++)
arr[i] = i;
Perm(arr, 0, n);
printf("%d\n", i);
return 0;
}
实验结果：
3
0 1 2
0 2 1
1 0 2
1 2 0
2 1 0
2 0 1
6
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- 给出\(n!\)的递归定义式，并设计一个递归函数计算\(n!\)
/*n!的递归定义
n! = n*(n-1)!,n>0;
n! = 1,n = 0;
*/
#include <stdio.h>
int fact(int n)
{
if(n == 0)
return 0;
else if(n>1){
return n*fact(n-1);
}
}
int main()
{
int n = 0;
scanf("%d", &n);
printf("%d\n", fact(n));
return 0;
}
实验结果：
4
24
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- 写一个递归算法和一个迭代算法计算二项式系数：
\[C_n^m = C_{n-1}^m + C_{n-1}^{m-1} = \frac{n!}{m!(n-m)!}
\]
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
//递归算法
int func1(int n, int m)
{
if (m > n)
return 0;
if (n == m || m == 0)
return 1;
else if (n>0 && m>0)
return func1(n - 1, m) + func1(n - 1, m - 1);
}
//迭代算法
int func2(int n, int m)
{
int i = 0, j = 0;
int **record = (int **)malloc((n + 1) * sizeof(int *));
for (i = 0; i<n+1; i++)
record[i] = (int *)malloc((m + 1) * sizeof(int));
//记录矩阵
for (i = 0; i<n + 1; i++)
for (j = 0; j<m + 1; j++) {
if (i < j)
record[i][j] = 0;
if (i == j || j == 0)
record[i][j] = 1;
else if (i >0 && j> 0)
record[i][j] = record[i - 1][j] + record[i - 1][j - 1];
}
return record[n][m];
}
int main()
{
int n = 0, m = 0;
scanf("%d %d", &n, &m);
printf("%d\n", func1(n, m));
printf("%d\n", func2(n, m));
return 0;
}
实验结果：
4 2
function 1: 6
function 2: 6
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- 给定一个字符串s和一个字符x，编写递归算法实现下列功能：
（1）检查x是否在s中
（2）计算x在s中出现的次数
（3）删除s中所有的x
/*
给定一个字符串s和一个字符x，编写递归算法实现下列功能：
（1）检查x是否在s中
（2）计算x在s中出现的次数
（3）删除s中所有的x
*/
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
//检查x是否在s中
void XinS(char *s, char x)
{
if(s[0] != 0){
if(x == s[0])
printf("YES\n");
else {
XinS(s+1, x);
}
} else
printf("NO\n");
}
//计算x在s中出现的次数
int CountX(char *s, char x)
{
int count = 0;
if(s[0] != 0){
if(s[0] == x)
count++;
count += CountX(s+1, x);
}
return count;
}
//删除s中所有的x
char *DelX(char *s, char x)
{
static int j = 0;
static char tmp[100] = {'\0'};
if(s[0] != 0){
if(s[0] != x){
tmp[j++] = s[0];
}
DelX(s+1, x);
} else
return tmp;
}
int main()
{
char x, s[100] = {'\0'}, *tmp;
scanf("%s", s);
getchar();//接收空字符；
scanf("%c", &x);
//(1)
XinS(s, x);
//(2)
printf("%d\n", CountX(s,x));
//(3)
tmp = DelX(s,x);
memcpy(s, tmp, strlen(tmp)+1);
printf("%s\n", s);
return 0;
}
实验结果：
asdfgts
s
YES
2
adfgt
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- 写一个C++函数求解：给定正整数n，确定n是否是它所有因子之和
//写一个C++函数求解：给定正整数n，确定n是否是它所有因子之和
//因子就是所有可以整除这个数的数,不包括这个数自身
int ex7(unsigned int n)
{
int k=2, flag = n-1;
while(k*k<n){
if(n%k == 0){
flag -= k;
flag -= n/k;
}
k++;
}
if(k*k == n){
flag -=k;
}
return (flag==0);
}
实验结果：
15
NO
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- S是有n个元素的集合，S的幂集是S所有可能的子集组成的集合。例如，\(S = {a, b, c}, 则S的幂集={(),(a),(b),(c),(a,b),(a,c),(b,c),(a,b,c)}\)。写一个C++递归函数，以S为输入，输出S的幂集。
练习二
-
矩阵转置
（1）设计一个C/C++程序实现一个\(n\times m\)的矩阵转置。原矩阵保存在二维数组中。
（2）使用全局变量count，改写矩阵转置程序，并运行修改后的程序，以确定改程序的程序步
（3）计算此程序的渐进时间复杂度 -
证明：若\(f(n) = a_mn^m+a_{m-1}n^{m-1}+\cdots+a_1n+a_0\)是\(m\)次多项式，且\(a_m>0\)，则\(f(n)=\Omega(n^m)\).
解：不妨令\(c=\frac{1}{2\max\{a_0,a_1,\cdots,a_m\}},n_0=2\),当\(n\geq n_0\)时，有
\[cg(n)\leq \frac{1}{2}(n^m+n^{m-1}+\cdots+n+1)\leq\frac{1}{2}(n^m+\frac{1-n^m}{1-n})\leq n^m \]根据定义有：\(f(n)=\Omega(n^m)\)。
-
运用主定理求\(T(n) = 2T(n/4) + \sqrt{n}, T(1) = 3\)的渐进界
解：根据主定理，\(a=2,b=4,f(n)=\sqrt{n},log_4^2=\frac{1}{2}\),显然\(f(n) = \sqrt{n}=\Theta(n^{log_b^a})\),所以
\[T(n) = \Theta(n^{log_b^a}logn)=\Theta(\sqrt{n}logn)
\]
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