【HDOJ】4412 Sky Soldiers

1. 题目描述
有$k$个伞兵跳伞，有$m$个汇点。当伞兵着陆后，需要走向离他最近的汇点。如何选择这$m$个结点，可以使得士兵最终行走的距离的期望最小。
求这个最小的期望。

2. 基本思路
假设已经选好了这$m$个汇点，这也就确定了每个士兵的可能着陆点需要继续行走的距离。因此，这个期望为
\begin{align}
    E_{min} &= \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{L_i} minDis(X_{ij}) * P_{ij}
\end{align}
显然这等价于
\begin{align}
    xst &= set(X), nx = |xst|   \\
    E_{min} &= \sum_{i=1}^{nx} minDis(xst_i) * \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{L_i} (X_{ij}==xst_i) * P{ij}  
\end{align}
这也就意味着，最终的最小期望值与$k$大小无关，与$nx$大小有关，$\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{L_i} (X_{ij}==xst_i) * P{ij} $其实是针对某个x的累加概率和。
而$nx \leq 1000$。因此，不妨设$dp[i][j]$表示当仅仅有i个汇点时，前j个x的最小期望值。显然有状态转移方程
\begin{align}
    dp[i][j] &= \min (dp[i-1][k] + cost[k+1][j]), k \in [1, j)
\end{align}
关键就是求$cost[i][j]$，表示区间$[i,j]$内的最小费用（仅包含1个汇点）。
而这显然是一个区间DP。有如下推导
\begin{align*}
    cost_k  &= \sum_{i=1}^{k} (x_k-x_i) \cdot P_i + \sum_{i=k+1}^{n} (x_i-x_k) \cdot P_i  \\
    x_{k+1} &= x_k + \Delta \\
    cost_{k+1}  &= \sum_{i=1}^{k+1} (x_{k+1}-x_i) \cdot P_i + \sum_{i=k+2}^{n} (x_i-x_{k+1}) \cdot P_i   \\
            &= \sum_{i=1}^{k+1} (x_k+\Delta-x_i) \cdot P_i + \sum_{i=k+2}^{n} (x_i-x_k-\Delta) \cdot P_i \\
            &= \sum_{i=1}^{k+1} (x_k-x_i) \cdot P_i + \sum_{i=k+2}^{n} (x_i-x_k) \cdot P_i + \Delta (\sum_{i=1}^{k+1}P_i - \sum_{i=k+2}^{n}P_i) \\
            &= \sum_{i=1}^{k} (x_k-x_i) \cdot P_i + \sum_{i=k+1}^{n} (x_i-x_k) \cdot P_i - 2\Delta \cdot P_{k+1} + \Delta (\sum_{i=1}^{k+1}P_i - \sum_{i=k+2}^{n}P_i) \\
            &= cost_k + \Delta (\sum_{i=1}^{k}P_i + P_{k+1} - \sum_{i=k+1}^{n}P_i + P_{k+1} - 2P_{k+1}) \\
            &= cost_k + \Delta (\sum_{i=1}^{k}P_i - \sum_{i=k+1}^{n}P_i)
\end{align*}
这让我在已知$x_k$为$[1,n]$的汇点时，可以快速求出当$x_{k+1}$为汇点时的费用值。$\Delta > 0$恒成立，而$\sum_{i=1}^{k}P_i - \sum_{i=k+1}^{n}P_i$也是单调递增的，因此求最优的$x_k$时可以使用单调性优化。

3. 代码

/* 4412 */
#include <iostream>
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#include <map>
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#include <cstring>
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#include <cassert>
#include <functional>
#include <iterator>
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using namespace std;
//#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,1024000")

#define sti                set<int>
#define stpii            set<pair<int, int> >
#define mpii            map<int,int>
#define vi                vector<int>
#define pii                pair<int,int>
#define vpii            vector<pair<int,int> >
#define rep(i, a, n)     for (int i=a;i<n;++i)
#define per(i, a, n)     for (int i=n-1;i>=a;--i)
#define clr                clear
#define pb                 push_back
#define mp                 make_pair
#define fir                first
#define sec                second
#define all(x)             (x).begin(),(x).end()
#define SZ(x)             ((int)(x).size())
#define lson            l, mid, rt<<1
#define rson            mid+1, r, rt<<1|1

typedef struct node_t {
    int x;
    double p;
    
    node_t() {}
    node_t(int x, double p):
        x(x), p(p) {}
        
    friend bool operator< (const node_t& a, const node_t& b) {
        return a.x < b.x;
    }
    
} node_t;

const double INF = 1e18;
const int maxn = 1005;
const int maxm = 55;
double cost[maxn][maxn];
double dp[maxm][maxn];
map<int,double> tb;
map<int,double>::iterator iter;
node_t nd[maxn];
int n, m;

void init_Cost(int n) {
    double mn, tmp;
    
    rep(i, 0, n) {
        int k = i;
        double pl = nd[i].p, pr = 0.0;
        
        mn = 0.0;
        cost[i][i] = 0;
        
        rep(j, i+1, n) {
            pr += nd[j].p;
            mn += (nd[j].x - nd[k].x) * nd[j].p;
            while (k<j && mn > mn + (nd[k+1].x-nd[k].x) * (pl - pr)) {
                mn += (nd[k+1].x-nd[k].x) * (pl - pr);
                ++k;
                pl += nd[k].p;
                pr -= nd[k].p;
            }
            cost[i][j] = mn;
        }
    }
}

void solve() {
    int pn = 0;
    
    for (iter=tb.begin(); iter!=tb.end(); ++iter) {
        nd[pn].x = iter->fir;
        nd[pn].p = iter->sec;
        ++pn;
    }
    
    sort(nd, nd+pn);
    
    init_Cost(pn);
    
    rep(j, 0, pn)
        dp[0][j] = cost[0][j];
        
    rep(i, 1, m) {
        rep(j, 0, pn) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            rep(k, 0, j)
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][k]+cost[k+1][j]);
        }
    }
    
    double ans = INF;
    ans = min(ans, dp[m-1][pn-1]);
    printf("%.2lf\n", ans);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("data.in", "r", stdin);
        freopen("data.out", "w", stdout);
    #endif
    
    int l;
    int x;
    double p;
    
    while (scanf("%d %d", &n, &m)!=EOF && (n||m)) {
        tb.clr();
        rep(i, 0, n) {
            scanf("%d", &l);
            rep(j, 0, l) {
                scanf("%d%lf", &x, &p);
                tb[x] += p;
            }
        }
        solve();
    }
    
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        printf("time = %d.\n", (int)clock());
    #endif
    
    return 0;
}