参考：http://www.cnblogs.com/wuyuankun/p/3982216.html
http://www.cnblogs.com/yaowen/p/4268157.html
哈夫曼树又称最优二叉树，
是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点
的权值乘上其到根结点的 路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度
为叶结点的层数）。树的带权路径长度记为WPL= (W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln)
，N个权值Wi(i=1,2,...n)构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径
长度为Li(i=1,2,...n)。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。
哈夫曼编码步骤：
一、对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。（为方便在计算机上实现算 法，一般还要求以Ti的权值Wi的升序排列。）
二、在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。
三、从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。
四、重复二和三两步，直到集合F中只有一棵二叉树为止。
简易的理解就是，假如我有A,B,C,D,E五个字符，出现的频率（即权值）分别为5,4,3,2,1,那么我们第一步先取两个最小权值作为左右子树构造一个新树，即取1，2构成新树，其结点为1+2=3，如图：
虚线为新生成的结点，第二步再把新生成的权值为3的结点放到剩下的集合中，所以集合变成{5,4,3,3}，再根据第二步，取最小的两个权值构成新树，如图：
再依次建立哈夫曼树，如下图：
其中各个权值替换对应的字符即为下图：
所以各字符对应的编码为：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010
霍夫曼编码是一种无前缀编码。解码时不会混淆。其主要应用在数据压缩，加密解密等场合。
//哈夫曼树类 public class HaffmanTree { //最大权值 static final int MAXVALUE=1000; int nodeNum ; //叶子结点个数 public HaffmanTree(int n) { this.nodeNum = n; } //构造哈夫曼树算法 public void haffman(int[] weight,HaffNode[] nodes)//权值数组，所有节点数组 { int n = this.nodeNum; //m1,m2,表示最小的两个权值，x1,x2,表示最小两个权值对应的编号,m1表示最小，m2表示次小 int m1,m2,x1,x2; //初始化所有的结点，对应有n个叶子结点的哈夫曼树，有2n-1个结点。 for(int i=0;i < 2*n-1;i++) { HaffNode temp = new HaffNode(); //初始化n个叶子结点，就是输入的节点。0、1、2、3是叶子节点也是输入的节点 if(i < n) { temp.weight = weight[i]; } else { temp.weight = 0; } temp.parent = 0; temp.flag = 0; temp.leftChild = -1; temp.rightChild = -1; nodes[i] = temp; } for(int i=0;i<n-1;i++){//初始化n-1个非叶子结点，n-1表示要循环n-1次求的n-1个数。 m1 = m2 = MAXVALUE; x1 = x2 =0; for(int j=0;j< n+i;j++)//求得这n-1个数时，每次都是从0到n+i-1,并且flag=0的，flag=1表示已经加入到二叉树。 { //以下2步是找出权值最小的2个 if(nodes[j].weight<m1 && nodes[j].flag==0)//if成立了else、else if就不进去了。 { //m1,x1初始值为第一个元素，后面如果比m1要小，则m1指向更小的，原来m1指向的现在由m2指向， //如果后面比m1大比m2小，则m2指向这个比m1大比m2小的， //也就是说m1指向最小的，m2指向第2小的。 m2 = m1; x2 = x1; m1 = nodes[j].weight; x1 = j; } else if(nodes[j].weight<m2 && nodes[j].flag ==0) { m2 = nodes[j].weight; x2 = j; } } //将权值最小的2个组合成一个2插树 nodes[x1].parent = n+i; nodes[x2].parent = n+i; nodes[x1].flag = 1; nodes[x2].flag = 1; nodes[n+i].weight = nodes[x1].weight + nodes[x2].weight; nodes[n+i].leftChild = x1; nodes[n+i].rightChild = x2; } /* 初始化数组之后：[1,3,5,7,4,9,16] 编码：100、101、11、0 */ } //哈弗曼编码算法 public void haffmanCode(HaffNode[] nodes,Code[] haffCode) { int n = this.nodeNum; Code code = new Code(n);//4 int child,parent; for(int i=0;i<n; i++)//给前面n个输入的节点进行编码 { code.start = n-1;//3 code.weight = nodes[i].weight;//1 child = i;//0 parent = nodes[child].parent; //从叶子节点向上走来生成编码，画图即可。 while(parent!=0) { if(nodes[parent].leftChild == child) { code.bit[code.start] = 0; } else { code.bit[code.start] = 1; } code.start--; child = parent; parent = nodes[child].parent; } Code temp = new Code(n); for(int j=code.start+1;j < n;j++) { temp.bit[j] = code.bit[j]; } temp.weight = code.weight; temp.start = code.start; haffCode[i] = temp; } } } //哈夫曼树的结点类 public class HaffNode { int weight; //权值 int parent ;//他的双亲 int flag ;//标志，是否为叶子节点 int leftChild; //他的左孩子 int rightChild;//他的右孩子 HaffNode() { } } //哈夫曼编码类 public class Code { int[] bit; //编码的数组 int start; //编码的开始下标 int weight; //权值 Code(int n){ bit = new int[n]; start = n-1; } } public class Test { public static void main(String[] args) { int n = 4; int[] weight = {1,3,5,7}; HaffmanTree haffTree = new HaffmanTree(n); HaffNode[] nodes = new HaffNode[2*n-1]; Code[] codes = new Code[n]; //构造哈夫曼树 haffTree.haffman(weight, nodes); //生成哈夫曼编码 haffTree.haffmanCode(nodes, codes); //打印哈夫曼编码 for(int i=0;i<n;i++) { System.out.print("Weight="+codes[i].weight+" Code="); for(int j=codes[i].start+1;j<n;j++) { System.out.print(codes[i].bit[j]); } System.out.println(); } } }
哈夫曼树可用于构造代码总长度最短的编码方案。具体构造方法如下：
设需要编码的字符集合为{d1,d2,…,dn}，各个字符在电文中出现的次数集合为{w1,w2,…,wn}，以d1,d2,…,dn作为叶结点，以w1,w2,…,wn作为各叶结点的权值构造一棵二叉树，规定哈夫曼树中的左分支为0，右分支为1，则从根结点到每个叶结点所经过的分支对应的0和1组成的序列便为该结点对应字符的编码。这样的代码总长度最短的不等长编码称之为哈夫曼编码。
