公式
常用公式
凡例
未考证的公式编号上注 \(*\)，存疑的公式编号上注 \(!\)。
公式是给自己看的，排版不一定合理，请见谅。
A. 级数
a. 典型级数
调和级数
\[\lim\limits_{n\to \infty} \sum\limits_{x = 1}^{n} \frac 1 x \sim \ln n \tag{A.a.1}
\]
b. 常见数列的级数
等差级数，即数列 \(a_n = a_1 + (n - 1) d\) 的级数
\[\sum\limits_{x = 1}^{n} a_x = \frac 1 2 n (a_1 + a_n) \tag{A.b.1}
\]
等比级数（几何级数），即数列 \(a_n = a_1 q^{n-1} (a_1 q \ne 0)\) 的级数
\[\sum\limits_{x = 1}^{n} a_x = \dfrac {a_1 (1 - q^n)} {1 - q} \tag{A.b.2}
\]
平方和
\[\sum\limits_{x = 1}^{n} x^2 = \frac 1 6 n (n+1) (2n+1) \tag{A.b.3}
\]
立方和
\[\sum\limits_{x = 1}^{n} x^3 = \frac 1 4 n^2 (n+1)^2 \tag{A.b.4}
\]
四次方和
\[\sum\limits_{x = 1}^{n} x^4 = \frac 1 {30} n (n+1) (2n+1) (3n^2 + 3n - 1) \tag{A.b.5}
\]
以上公式可以通过数学归纳法证明。
正整数幂和（冯哈伯公式 Faulhaber's Formula，此公式存疑，见注记 [^A.b.1]）
\[\sum\limits_{x = 1}^{n} x^k = \dfrac 1 {k+1} \sum\limits_{i = 1}^{k + 1} (-1)^{\delta_{i, k}} \binom{k+1}{i} B_{k-i+1} n^i \tag{A.b.6 !}
\]
其中，\(\delta\) 是 Kronecker 符号，定义为
\[\delta_{i, j} = \begin{cases} 0, & i \ne j, \\ 1, & i = j.\end{cases}
\]
\(B_i\) 是第 \(i\) 个伯努利数，一种定义方法是
\[B_m = [m = 0] - \sum\limits_{k = 0}^{m - 1} \binom{m}{k} \dfrac {B_k} {m - k + 1}
\]
c. 其他等式
归纳可证。
\[\sum\limits_{x = 1}^{n} x^3 = \left(\sum\limits_{x = 1} x\right)^2 = \left(\frac 1 2 n (n+1)\right)^2 \tag{A.c.1}
\]
B. 组合数学
a. 排列组合
排列，记为 \(P_n^m\) 或 \(A_n^m\)
\[A_n^m = \dfrac {n!} {(n - m)!} \tag{B.a.1}
\]
组合，记为 \(C_n^m\) 或 \(\binom{n}{m}\)
\[\binom{n}{m} = \dfrac {n!} {m! (n-m)!} \tag{B.a.2}
\]
二项式定理
\[\begin{aligned}
(a + b)^n
&= \sum\limits_{k = 0}^{n}\binom{n}{k} a^{n-k} b^k \\
&= a^n + \binom{n}{1} a^{n-1} b + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \binom{n}{3} a^{n-3} b^3 + \cdots + \binom{n}{n-1} a b^{n-1} + b^n
\end{aligned}
\tag{B.a.3}
\]
b. 组合恒等式
可以用组合意义或二项式定理证明，见注记 [^B.b.1]。
\[\binom{n}{m} = \binom{n}{n-m} \tag{B.b.1}
\]
\[m \binom{n}{m} = n \binom{n-1}{m-1} \tag{B.b.2}
\]
\[(n-m) \binom{n}{m} = n \binom{n-1}{m} \tag{B.b.3}
\]
\[\binom{n}{r} \binom{r}{k} = \binom{n}{k} \binom{n-k}{r-k} \tag{B.b.4}
\]
\[\sum\limits_{i = m}^{n} \binom{i}{m} = \binom{n+1}{m+1} \tag{B.b.5*}
\]
\[\sum\limits_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} = 2^n \tag{B.b.6}
\]
杨辉三角
\[\binom{n}{m} = \binom{n}{m-1} + \binom{n-1}{m-1} \tag{B.b.7}
\]
范德蒙德卷积
\[\sum_{i = 0}^{k} \binom{n}{i} \binom{m}{k-i} = \binom{n+m}{k} \tag{B.b.8}
\]
Lucas 定理
\[\binom{n}{m} \equiv \binom{\lfloor \frac n p \rfloor}{\lfloor \frac m p \rfloor} \binom{n \mod p}{m \mod p} \pmod p \tag{B.b.9}
\]
注记
[^A.b.1] 由于相关资料对此公式有多种说法，存在疑问。这些资料是：
- https://math.stackexchange.com/questions/1667258/how-is-faulhabers-formula-derived
- https://proofwiki.org/wiki/Faulhaber's_Formula
- https://mathworld.wolfram.com/FaulhabersFormula.html （我倾向于采用这种说法）
- https://baike.baidu.com/item/冯哈伯公式/24293403
[^B.b.1] 这些内容来自我的一个云剪贴板，链接 https://www.luogu.com.cn/paste/abkn4vb6，部分内容未考证。
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