高等数学选修

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映射

• 定义

设 \(X,Y\) 为两个非空集合，如果存在一个法则 \(f\)，使得 \(X\) 中的每个元素 \(x\)，按照法则 \(f\)，在 \(Y\) 中有唯一确定的元素 \(y\) 与之对应，那么称 \(f\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射，记作

\[f:X\to Y \]

其中 \(y\) 称为元素 \(x\)（在映射 \(f\) 下）的像，并记作 \(f(x)\)，即

\[y=f(x) \]

元素 \(x\) 称为元素 \(y\)（在映射 \(f\) 下）的一个原像。

集合 \(X\) 称为映射 \(f\) 的定义域，记作 \(D_f\)，即 \(D_f=X\)。

\(X\) 中的所有元素的像所组成的集合称为映射 \(f\) 的值域，记作 \(R_f\) 或 \(f(X)\)，即

\[R_f=f(X)=\{f(x)\mid x\in X\} \]

• 性质

1. 构成映射的三要素：定义域，值域，对应法则。

2. \(x\to y\) 是唯一的，\(y\to x\) 不一定是唯一的。

3. 值域 \(R_f\) 是 \(Y\) 的一个子集，即 \(R_f\subset Y\)，但不一定 \(R_f=Y\)

例：设 \(f:\R\to \R\)，对于每个 \(x\in \R,f(x)=x^2\)，那么有 \(Y=\R\)，但 \(R_f=f(X)=\{y\mid y\geq 0\}\)，它是 \(\R\) 的一个真子集。

设 \(f:X\to Y\)，若 \(R_f=Y\)，则称 \(f\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 上的映射或满射，若对于 \(X\) 中的任意两个不同元素 \(x_1\neq x_2\)，它们的像 \(f(x_1)\neq f(x_2)\)，则称 \(f\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 的单射，若映射 \(f\) 既是满射又是单射，则称 \(f\) 为一一映射（或双射）。

非空集 \(X\) 到数集 \(Y\) 的映射又被称为 \(X\) 上的泛函。

非空集 \(X\) 到它自身的映射又被称为 \(X\) 上的变换。

实数集或其子集 \(X\) 到实数集 \(Y\) 的映射通常称为定义在 \(X\) 上的函数。

逆映射

• 定义

设 \(f\) 为 \(X\) 到 \(Y\) 的单射，我们定义一个从 \(R_f\) 到 \(X\) 的新映射 \(g\)，即

\[g:R_f\to X \]

则这个映射 \(g\) 称为 \(f\) 的逆映射，记作 \(f^{-1}\)

按照上述定义，只有单射才存在逆映射。

复合映射

• 定义

设有两个映射

\[g:X\to Y_1,\quad f:Y_2\to Z \]

其中 \(Y_1\subset Y_2\)，则由映射 \(g\) 和 \(f\) 可以确定出一个从 \(X\) 到 \(Z\) 的对应法则，它将每个 \(x\in X\) 映成 \(f[g(x)]\in Z\)，这个对应法则确定了一个从 \(X\) 到 \(Z\) 的映射，这个映射称为映射 \(g\) 和 \(f\) 构成的复合映射，记作 \(f \circ g\)，即：

\[f\circ g:X\to Z,\quad(f\circ g)(x)=f[g(x)],x\in X \]

函数

• 定义

设数集 \(D\subset \R\)，则称映射 \(f:D\to\R\) 为定义在 \(D\) 上的函数，通常简记为

\[y=f(x),x\in D \]

函数是从实数集到实数集的映射，值域总在 \(\R\) 内，因此构成函数的要素是定义域 \(D_f\) 及对应法则 \(f\)

坐标平面上的点集

\[\{P(x,y)\mid y=f(x),x\in D\} \]

称为函数 \(y=f(x),x\in D\) 的图形。

• 函数的特性

1. 函数的有界性

如果存在数 \(K_1\) 使得 \(f(x)\le K_1\) 对任一 \(x\in X\) 都成立，则称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有上界，\(K_1\) 称为函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上的一个上界。

如果存在数 \(K_2\) 使得 \(f(x)\ge K_2\) 对任一 \(x\in X\) 都成立，则称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有下界，\(K_2\) 称为函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上的一个下界。

如果存在正数 \(M\) 使得 \(|f(x)|\le M\) 对任一 \(x\in X\) 都成立，则称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有界，不存在则称无界。

2. 函数的单调性
3. 函数的奇偶性
4. 函数的周期性

以上三点高中数学均有涉及。

反函数

• 定义

类比逆映射的定义，对每个 \(y\in f(D)\)，有唯一的 \(x\in D\)，使得 \(f(x)=y\)，于是有

\[f^{-1}(y)=x \]

为 \(f(x)=y\) 的反函数。

• 性质

1. \(f(x)\) 与 \(f^{-1}(x)\) 单调性相同，可以通过单射证明。
2. \(f(x)\) 与 \(f^{-1}(x)\) 的图形关于直线 \(y=x\) 对称。

复合函数

• 定义

类比复合映射的定义，若有 \(y=f(u),u=g(x)\)，且 \(R_g\subset D_f\)，则

\[y=f[g(x)],x\in D_g \]

称为由函数 \(u=g(x)\) 和函数 \(y=f(u)\) 构成的复合函数，同样记作 \((f\circ g)(x)\)，即

\[(f\circ g)(x)=f[g(x)] \]

函数的运算

设函数 \(f(x),g(x)\) 的定义域 \(D_f,D_g\) 满足 \(D=D_f\cap D_g\neq\varnothing\)，则定义下列运算

​ 和（差）\(f\pm g\) ：\((f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x),x\in D\)

​ 积 \(f\cdot g\) ：\((f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x),x\in D\)

​ 商 \(\dfrac{f}{g}\) ：\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)},x\in D\backslash\{x\mid g(x)=0,x\in D\}\)

基本初等函数

• 幂函数：\(y=x^{\mu}(u\in \R 是常数)\)
• 指数函数：\(y=a^x(a>0且a\ne 1)\)
• 对数函数：\(y=\log_a x(a>0且a\ne 1,特别当a=e时,记作y=\ln x)\)
• 三角函数：\(y=\sin x,y=\cos x,y=\tan x\) 等
• 反三角函数：\(y=\arcsin x,y=\arccos x,y=\arctan x\) 等

数列的极限

• 定义

设 \(\{x_n\}\) 为一数列，如果存在常数 \(a\)，对于任意给定的正数 \(\epsilon\)（不论它多么小），总存在正整数 \(N\)，使得当 \(n>N\) 时，不等式

\[|x_n-a|<\epsilon \]

都成立，那么就称常数 \(a\) 时数列 \(\{x_n\}\) 的极限，或者称数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\)，记为

\[\lim_{n\to \infty} x_n=a \]

或

\[x_n\to a(n\to \infty) \]

如果不存在这样的常数 \(a\)，就说数列 \(\{x_n\}\) 没有极限，或者说数列 \(\{x_n\}\) 是发散的，习惯上也说 \(\lim\limits_{n\to \infty} x_n\) 不存在。

• 收敛数列的性质

1. 极限的唯一性

如果数列 \(\{x_n\}\) 收敛，那么它的极限唯一。

2. 收敛数列的有界性

如果数列 \(\{x_n\}\) 收敛，那么数列 \(\{x_n\}\) 一定有界。

3. 收敛数列的保号性

如果 \(\lim \limits_{n\to \infty} x_n=a,且a>0(或 a<0)\)，那么存在正整数 \(N\)，当 \(n>N\) 时，都有 \(x_n>0(或 x_n<0)\)

4. 收敛数列与其子数列的关系

如果数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\)，那么它的任一子数列也收敛，极限也为 \(a\)

注意：发散数列也可能有收敛的子数列。

函数的极限

• 定义

类比数列的极限

\[\lim_{x\to x_0} f(x)=A \]

注意：\(x\to x_0\) 时 \(f(x)\) 有没有极限，与 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 是否有定义并无关系。

只能考虑从 \(x_0\) 的左侧趋于 \(x_0\) 的情形，\(A\) 称为 \(f(x)\) 在 \(x\to x_0\) 时的左极限，记为

\[\lim_{x\to x_0^-}f(x)=A\quad或\quad f(x_0^-)=A \]

只能考虑从 \(x_0\) 的右侧趋于 \(x_0\) 的情形，\(A\) 称为 \(f(x)\) 在 \(x\to x_0\) 时的右极限，记为

\[\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A\quad 或\quad f(x_0^+)=A \]

左极限与右极限统称为单侧极限。

即使 \(f(x_0^-)\) 和 \(f(x_0^+)\) 都存在，但若不相等，则 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) 也不存在。

• 函数极限的性质

1. 函数极限的唯一性

如果 \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\) 存在，那么这极限唯一。

2. 函数极限的局部有界性

如果 \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=A\)，那么存在常数 \(M>0\) 和 \(\delta>0\)，使得当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时，有 \(|f(x)|\le M\)

3. 函数极限的局部保号性

如果 \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=A,且A>0(或A<0)\)，那么存在常数 \(\delta>0\)，使得当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时，有 \(f(x)>0(或 f(x)<0)\)

如果 \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=A(a\ne 0)\)，那么就存在 \(x_0\) 的某一去心邻域 \(\mathring U(x_0)\)，当 \(x\in \mathring U(x_0)\) 时，有 \(|f(x)|>\dfrac{|A|}{2}\)

推论：

如果在 \(x_0\) 的某去心邻域内 \(f(x)\ge 0(或f(x)\le 0)\)，且 \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=A\)，那么 \(A\ge 0(或 A\le 0)\)

4. 函数极限与数列极限的关系

如果极限 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) 存在，\(\{x_n\}\) 为函数 \(f(x)\) 的定义域内任一收敛于 \(x_0\) 的数列，且满足 \(x_n\ne x_0(n\in \N_+)\)，那么相应的函数值数列 \(\{f(x_n)\}\) 必收敛，且 \(\lim\limits_{n\to \infty} f(x_n)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\)

无穷小与无穷大

• 定义

如果函数 \(f(x)\) 在 \(x\to x_0\)（或 \(x\to \infty\)）时的极限为零，即

\[\lim_{x\to x_0} f(x)=0\quad(或\lim_{x\to \infty}f(x)=0) \]

那么称 \(f(x)\) 为当 \(x\to x_0\)（或 \(x\to \infty\)）时的无穷小。

如果函数 \(f(x)\) 在 \(x\to x_0\)（或 \(x\to \infty\)）时对应的函数值的绝对值 \(|f(x)|\) 可以大于预先指定的任何正数 \(M\)，那么称 \(f(x)\) 为当 \(x\to x_0\)（或 \(x\to \infty\)）时的无穷大，为了描述方便，我们也说函数的极限是无穷大，并记作

\[\lim_{x\to x_0} f(x)=\infty\quad(或\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty) \]

如果在无穷大的定义中把 \(|f(x)|>M\) 改为 \(f(x)>M\) 或 \(f(x)<-M\)，就记作

\[\lim_{x\to x_0\atop(x\to \infty)}f(x)=+\infty\quad(或\lim_{x\to x_0\atop(x\to \infty)}f(x)=-\infty) \]

1. 无穷小与函数极限的关系

在自变量的同一变化过程 \(x\to x_0或(x\to \infty)\) 中，函数 \(f(x)\) 具有极限 \(A\) 的充要条件是 \(f(x)=A+\alpha\)，其中 \(\alpha\) 是无穷小。

2. 无穷小与无穷大之间的关系

在自变量的同一变化过程中，如果 \(f(x)\) 为无穷大，那么 \(\dfrac{1}{f(x)}\) 为无穷小；反之，如果 \(f(x)\) 为无穷小，且 \(f(x)\ne 0\)，那么 \(\dfrac{1}{f(x)}\) 为无穷大。

• 无穷小的比较

注：下面的 \(\alpha,\beta\) 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且 \(\alpha\ne 0\)，\(\lim \dfrac{\beta}{\alpha}\) 也是这个变化过程中的极限。

1. 如果 \(\lim \dfrac{\beta}{\alpha}=0\)，那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 高阶的无穷小，记作 \(\beta=\omicron(\alpha)\)
2. 如果 \(\lim \dfrac{\beta}{\alpha}=\infty\)，那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 低阶的无穷小。
3. 如果 \(\lim \dfrac{\beta}{\alpha}=c\ne 0\)，那么就说 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是同阶无穷小。
4. 如果 \(\lim \dfrac{\beta}{\alpha^k}=c\ne 0\)，那么就说 \(\beta\) 是关于 \(\alpha\) 的 \(k\) 阶无穷小。
5. 如果 \(\lim \dfrac{\beta}{\alpha}=1\)，那么就说 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是等价无穷小，记作 \(\alpha\sim \beta\)

定理 \(1\)：

\(\beta\) 和 \(\alpha\) 是等价无穷小的充要条件是 \(\beta=\alpha+\omicron(\alpha)\)

定理 \(2\)：

设 \(\alpha\sim\widetilde{\alpha},\beta\sim\widetilde{\beta}\)，且 \(\lim\dfrac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}\) 存在，则 \(\lim\dfrac{\beta}{\alpha}=\lim\dfrac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}\)

极限运算法则

1. 两个无穷小的和是无穷小。
2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
3. 如果 \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0} g(x)=B\)，那么：

（1）\(\lim\limits_{x\to x_0} [f(x)\pm g(x)]=\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\pm\lim\limits_{x\to x_0} g(x)=A\pm B\)

（2）\(\lim\limits_{x\to x_0} [f(x)\cdot g(x)]=\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\cdot \lim\limits_{x\to x_0} g(x)=A\cdot B\)

（3）若又有 \(B\ne 0\)，则 \(\lim\limits_{x\to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim\limits_{x\to x_0} f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0} g(x)}=\dfrac{A}{B}\)

4. 如果 \(\varphi(x)\ge \psi(x)\)，而 \(\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0}\psi(x)=B\)，那么 \(A\ge B\)

极限存在准则

准则 \(1\)：

如果数列 \(\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}\) 满足以下条件：

（1）从某项起，即 \(\exists n_0\in \N_+\)，当 \(n>n_0\) 时，有：

\[y_n\le x_n\le z_n \]

（2）\(\lim\limits_{n\to \infty} y_n=a,\lim\limits_{n\to \infty} z_n=a\)

那么数列 \(\{x_n\}\) 的极限存在，且 \(\lim\limits_{n\to \infty} x_n=a\)

上述数列极限存在准则可推广到函数的极限：

准则 \(1'\)：

如果函数 \(f(x),g(x),h(x)\) 满足以下条件：

（1）当 \(x\in \mathring U(x_0,r)\ (或|x|>M)\) 时，有：

\[g(x)\le f(x)\le h(x) \]

（2）\(\lim\limits_{x\to x_0\atop(x\to \infty)}g(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0\atop(x\to \infty)}h(x)=A\)

那么函数 \(f(x)\) 的极限存在，且 \(\lim\limits_{x\to x_0\atop(x\to \infty)}f(x)=A\)

准则 \(2\)：

单调有界函数必有极限

准则 \(2'\)：

设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某个左邻域内单调并且有界，则 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的左极限 \(f(x_0^-)\) 必定存在。

柯西极限存在准则：

数列 \(\{x_n\}\) 收敛的充要条件是：对于任意给定的正数 \(\epsilon\)，存在正整数 \(N\)，使得当 \(m>N,n>N\) 时，有

\[|x_n-x_m|<\epsilon \]

两个重要极限

\[\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 \]

\[\lim_{z\to 0}(1+z)^{\frac{1}{z}}=\lim_{x\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e \]

函数的连续性

• 定义

设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一邻域内有定义，如果

\[\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0 \]

或

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) \]

则称函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续。

类比函数的左极限，右极限，可以得到函数的左连续，右连续，不再展开。

函数的间断点

• 定义

设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某去心邻域内有定义，如果有下列三种情形之一：

（1）函数在 \(x=x_0\) 没有定义

（2）在 \(x=x_0\) 有定义，但 \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\) 不存在

（3）在 \(x=x_0\) 有定义，\(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\) 存在，但 \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\ne f(x_0)\)

那么函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 不连续，点 \(x_0\) 称为函数 \(f(x)\) 的间断点。

导数

• 定义

设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的某个邻域内有定义，当自变量 \(x\) 在 \(x_0\) 处取得增量 \(\Delta x\) 时，相应地，因变量取得增量 \(\Delta y=f(x_0+x)-f(x)\)；如果 \(\Delta y\) 与 \(\Delta x\) 的比值当 \(\Delta x\to 0\) 时的极限存在，那么称函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导，并称这个极限为函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数，记为 \(f'(x_0)\)，即

\[f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]

也可记作 \(y'\mid_{x=x_0},\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\mid_{x=x_0},\dfrac{{\rm d}f(x)}{{\rm d}x}\mid_{x=x_0}\)

导函数：

\[y'=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

如果这个极限不存在，则称函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 处不可导，如果不可导的原因是由于 \(\Delta x\to 0\) 时 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\to \infty\)，也往往说函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数为无穷大。

• 导数的几何意义

函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数 \(f'(x_0)\) 在几何上表示曲线 \(y=f(x)\) 在点 \(M(x_0,f(x_0))\) 处切线的斜率，即

\[f'(x_0)=\tan \alpha \]

其中 \(\alpha\) 是切线的倾角。

• 函数可导性与连续性的关系

函数在某点可导就在这一点一定连续，但函数在某点连续却不一定在这一点可导。

函数的和、差、积、商的求导法则

如果函数 \(u=u(x)\) 和 \(v=v(x)\) 都在点 \(x\) 处具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为 \(0\) 的点外）都在点 \(x\) 具有导数，且

\[\begin{aligned} (u\pm v)'&=u'\pm v'\\ (Cu)'&=Cu'\\ (uv)'&=vu'+uv'\\ \left(\dfrac{u}{v}\right)'&=\dfrac{vu'-uv'}{v^2}\quad(v\ne 0)\\ \end{aligned} \]

反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

设复合函数 \(y=f(u),u=g(x)\)，则复合函数 \(y=f[g(x)]\) 的导数为

\[\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=f'(u)g'(x) \]

高阶导数

• 定义

我们把 \(y'=f'(x)\) 的导数称为 \(y=f(x)\) 的二阶导数，记作 \(y''或 \dfrac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}\)

相应的， 我们把 \(y=f(x)\) 的导数 \(f'(x)\) 叫做函数 \(y=f(x)\) 的一阶导数。

类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，\(n-1\) 阶导数的导数叫做 \(n\) 阶导数，记作

\[y''',y^{(4)},\cdots,y^{(n)}\quad 或\quad \dfrac{{\rm d}^3y}{{\rm d}x^3},\dfrac{{\rm d}^4y}{{\rm d}x^4},\cdots\dfrac{{\rm d}^ny}{{\rm d}x^n} \]

二阶及以上的导数统称为高阶导数。

• 莱布尼茨公式

\[(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n\choose k}u^{(n-k)}v^{(k)} \]

与二项式定理类似，系数一致，把 \(k\) 次幂换成 \(k\) 阶导数，\(u+v\) 的 \(n\) 次幂换成 \(uv\) 的 \(n\) 阶导数。

• 常用导数公式

\[\begin{aligned} (C)'&=0\\ (x^{\mu})'&=\mu x^{\mu -1}\\ (a^x)'&=a^x\ln a\quad(a>0,a\ne 1)\\ (\log_a x)'&=\dfrac{1}{x\ln a}\\ (\sin x)'&=\cos x\\ (\cos x)'&=-\sin x\\ (\tan x)'&=\sec^2 x\\ (\cot x)'&=-\csc^2 x\\ (\sec x)'&=\sec x\tan x\\ (\csc x)'&=-\csc x\cot x\\ (\arcsin x)'&=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x)'&=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x)'&=\dfrac{1}{1+x^2}\\ ({\rm arccot} x)'&=-\dfrac{1}{1+x^2}\\ (e^x)^{(n)}&=e^x\\ (\sin x)^{(n)}&=\sin(x+\dfrac{n\pi}{2})\\ (\cos x)^{(n)}&=\cos(x+\dfrac{n\pi}{2})\\ (\ln(1+x))^{(n)}&=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^n}\\ (x^\mu)^{(n)}&=\mu^{\underline{n}}x^{\mu-n}\\ \end{aligned} \]

函数的微分

• 定义

设函数 \(y=f(x)\) 在某区间有定义， \(x_0\) 及 \(x_0+\Delta x\) 在这区间内，如果函数的增量

\[\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) \]

可表示为

\[\Delta y=A\Delta x+\omicron(\Delta x) \]

其中 \(A\) 是不依赖于 \(\Delta x\) 的常数，那么称函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 是可微的，而 \(A\Delta x\) 叫做函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 相应于自变量增量 \(\Delta x\) 的微分，记作 \({\rm d}y\)，即

\[{\rm d}y=A\Delta x \]

• 函数可微的条件

若 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 可微，则有

\[\begin{aligned} \Delta y&=A\Delta x+\omicron(\Delta x)\\ \dfrac{\Delta y}{\Delta x}&=A+\dfrac{\omicron(\Delta x)}{\Delta x} \end{aligned} \]

当 \(\Delta x\to 0\) 时，由上式可得到

\[A=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0) \]

因此，如果函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 可微，那么函数在点 \(x_0\) 也一定可导。

反之，如果 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 可导，即

\[\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0) \]

存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成

\[\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)+\alpha \]

其中 \(\alpha \to 0\)，由此又有

\[\Delta y=f'(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x \]

因为 \(\alpha\Delta x=\omicron(\Delta x)\)，且 \(f'(x_0)\) 不依赖于 \(\Delta x\)，所以 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 也是可微的。

由此可见，函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 可微的充要条件是函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 可导，且当 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 可微时，其微分一定是

\[{\rm d}y=f'(x_0)\Delta x \]

当 \(f'(x_0)\ne 0\) 时，有

\[\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{{\rm d}y}=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{f'(x_0)\Delta x}=\dfrac{1}{f'(x_0)}\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=1 \]

从而，当 \(\Delta x\to 0\) 时，\(\Delta y\) 与 \({\rm d}y\) 是等价无穷小，这时有

\[\Delta y={\rm d}y+\omicron({\rm d}y) \]

即 \({\rm d}y\) 是 \(\Delta y\) 的主部，当 \(f'(x_0)\ne 0,\Delta x\to 0\) 时，我们称 \({\rm d}y\) 是 \(\Delta y\) 的线性主部。

所以在 \(f'(x_0)\ne 0\) 的条件下，以微分 \({\rm d}y=f'(x_0)\Delta x\) 近似代替增量 \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\) 时，其误差为 \(\omicron({\rm d}y)\)，因此在 \(|\Delta x|\) 很小时，有近似等式

\[\Delta y\approx {\rm d}y \]

通常我们把自变量 \(x\) 的增量 \(\Delta x\) 称为自变量的微分，记作 \({\rm d}x\)，即 \({\rm d}x=\Delta x\) ，于是函数 \(y=f(x)\) 的微分又可写作

\[{\rm d}y=f'(x){\rm d}x \]

从而有

\[\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=f'(x)\\ \]

这就是说，函数的微分 \({\rm d}y\) 与自变量的微分 \({\rm d}x\) 之商等于该函数的导数。

函数和、差、积、商的微分法则

由函数的和、差、积、商的求导法则，可以推得其微分法则。

\[\begin{aligned} {\rm d}(u\pm v)&={\rm d}u\pm {\rm d}v\\ {\rm d}(Cu)&=C{\rm d}u\\ {\rm d}(uv)&=v{\rm d}u+u{\rm d}v\\ {\rm d}\left(\dfrac{u}{v}\right)&=\dfrac{v{\rm d}u-u{\rm d}v}{v^2}\quad(v\ne 0) \end{aligned} \]

设复合函数 \(y=f(u),u=g(x)\)，则复合函数 \(y=f[g(x)]\) 的微分为

\[{\rm d}y=f'(u)g'(x){\rm d}x\\ \]

微分中值定理

• 费马引理

设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域 \(U(x_0)\) 内有定义，并且在 \(x_0\) 处可导，如果对任意的 \(x\in U(x_0)\)，有

\[f(x)\le f(x_0)\quad 或 \quad f(x)\ge f(x_0) \]

那么 \(f'(x_0)=0\)

通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）

• 罗尔定理

如果函数 \(f(x)\) 满足

（1）在闭区间 \([a,b]\) 上连续；

（2）在开区间 \((a,b)\) 内可导；

（3）在区间端点处的函数值相等，即 \(f(a)=f(b)\)，

那么在 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi(a<\xi<b)\)，使得 \(f'(\xi)=0\)

• 拉格朗日中值定理

罗尔定理中 \(f(a)=f(b)\) 的条件过于苛刻，使得它的使用受到了很大的限制。

但如果把这个限制去掉，仍保留其余两个条件，并相应的改变结论，那么就得到了拉格朗日中值定理。

如果函数 \(f(x)\) 满足

（1）在闭区间 \([a,b]\) 上连续；

（2）在开区间 \((a,b)\) 内可导，

那么在 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi(a<\xi<b)\)，使等式

\[f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) \]

成立。

此外，上式也被称作拉格朗日中值公式。

设 \(x\) 为区间 \([a,b]\) 内一点，\(x+\Delta x\) 为这区间内的另一点，则上式在这两点上就成为

\[f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x+\theta \Delta x)\cdot\Delta x \]

其中 \(\theta\in(0,1)\)，记 \(f(x)\) 为 \(y\)，又有

\[\Delta y=f'(x+\theta\Delta x)\cdot\Delta x \]

一般来说，以 \({\rm d}y\) 近似代替 \(\Delta y\) 时产生的误差只有在 \(\Delta x\to 0\) 时才趋于零，而这个式子给出了自变量取得有限增量 \(\Delta x\) 时，函数增量 \(\Delta y\) 的准确表达式。因此，这个定理又被称作有限增量定理，有时也称微分中值定理，称上式为有限增量公式。

• 柯西中值定理

如果函数 \(f(x)\) 及 \(F(x)\) 满足

（1）在闭区间 \([a,b]\) 上连续；

（2）在开区间 \((a,b)\) 内可导；

（3）对任一 \(x\in(a,b),F'(x)\ne 0\)，

那么在 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi(a<\xi<b)\)，使等式

\[\dfrac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{F'(\xi)} \]

成立。

洛必达法则

设

（1）当 \(x\to x_0\)（或 \(x\to \infty\)）时，\(f(x)\) 和 \(F(x)\) 都趋于零；

（2）在点 \(a\) 的某去心邻域内，\(f'(x)\) 和 \(F'(x)\) 都存在且 \(F'(x)\ne 0\)；

（3）\(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{F'(x)}\) 存在（或为无穷大），

则

\[\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{F'(x)} \]

泰勒公式

• 引入

设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处具有 \(n\) 阶导数，试找出一个关于 \(x-x_0\) 的 \(n\) 次多项式

\[\begin{align} p_n(x)=\sum_{i=0}^na_i(x-x_0)^i\tag 1 \end{align} \]

来近似表达 \(f(x)\)，要求使得 \(p_n(x)\) 与 \(f(x)\) 之差是当 \(x\to x_0\) 时比 \((x-x_0)^n\) 高阶的无穷小。

假设 \(p_n(x)\) 在 \(x_0\) 处的函数值及它的直到 \(n\) 阶导数在 \(x_0\) 处的值依次与 \(f(x_0),f'(x_0),f''(x_0),\cdots,f^{(n)}(x_0)\) 相等，即满足

\[p_n(x_0)=f(x_0),p_n'(x_0)=f'(x_0),\\ p_n''(x_0)=f''(x_0),\cdots,p_n^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)\\ \]

按这些等式来确定多项式 \((1)\) 的系数，可以得到：

\[a_0=f(x_0),1!\cdot a_1=f'(x_0),\\ 2!\cdot a_2=f''(x_0),\cdots,n!\cdot a_n=f^{(n)}(x_0) \]

代入 \((1)\) 式即可得到

\[p_n(x)=f(x_0)+\sum_{i=1}^n\dfrac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i\tag 2 \]

下面的定理表明，多项式 \((2)\) 的确是要找的 \(n\) 次多项式。

• 泰勒中值定理 \(1\)：

如果函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处具有 \(n\) 阶导数，那么存在 \(x_0\) 的一个邻域，对于该邻域内的任一 \(x\)，有

\[f(x)=f(x_0)+\sum_{i=1}^n\dfrac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i+R_n(x)\tag 3 \]

其中

\[R_n(x)=\omicron((x-x_0)^n)\tag 4 \]

证明时反复应用洛必达法则，最后能够得到 \(\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}=\dfrac{1}{n!}R^{(n)}_n(x_0)=0\)。

多项式 \((2)\) 称为函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处（或按 \((x-x_0)\) 的幂展开）的 \(n\) 次泰勒多项式。

公式 \((3)\) 称为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处（或按 \((x-x_0)\) 的幂展开）的带有佩亚诺余项的 \(n\) 阶泰勒公式。

表达式 \((4)\) 称为佩亚诺余项，它就是用 \(n\) 次泰勒多项式来近似表达 \(f(x)\) 所产生的误差，这一误差是当 \(x\to x_0\) 时比 \((x-x_0)\) 高阶的无穷小，但不能由它具体估算出误差的大小，下面给出的具有另一种余项形式的泰勒定理则解决了这一问题。

• 泰勒中值定理 \(2\)：

如果函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个邻域 \(U(x_0)\) 内具有 \(n+1\) 阶导数，那么对任一 \(x\in U(x_0)\)，有

\[f(x)=f(x_0)+\sum_{i=1}^n\dfrac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i+R_n(x)\tag 5 \]

其中

\[R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\tag 6 \]

这里 \(\xi\) 为 \(x\) 与 \(x_0\) 之间的一个值。

证明时反复应用柯西中值定理，得到 \((6)\) 式。

公式 \((5)\) 称为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处（或按 \((x-x_0)\) 的幂展开）的带有拉格朗日余项的 \(n\) 阶泰勒公式。

表达式 \((6)\) 称为拉格朗日余项。

此外，当 \(n=0\) 时，泰勒公式 \((5)\) 变为拉格朗日中值公式

\[f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0)\quad(\xi\,在\,x_0\,与\,x\,之间) \]

在泰勒公式 \((3)\) 中，如果取 \(x_0=0\)，那么有带有佩亚诺余项的麦克劳林公式

\[f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^n\dfrac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i+\omicron(x^n) \]

在泰勒公式 \((5)\) 中，如果取 \(x_0=0\)，那么 \(\xi\) 在 \(0\) 与 \(x\) 之间，因此可以令 \(\xi=\theta x(0<\theta<1)\)，从而泰勒公式 \((5)\) 变成较简单的形式，即带有拉格朗日余项的麦克劳林公式

\[f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^n\dfrac{f^{(i)}(0)}{i!}(x)^i+\dfrac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} \]

函数的单调性与曲线的凹凸性

• 单调性的判定

设函数 \(y=f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内可导。

（1）如果在 \((a,b)\) 内 \(f'(x)\ge 0\)，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 \(y=f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调增加；

（2）如果在 \((a,b)\) 内 \(f'(x)\le 0\)，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数 \(y=f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调减少。

• 曲线凹凸的定义

设 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，如果对 \(I\) 上的任意两点 \(x_1,x_2\)，恒有

\[f\left(\dfrac{x_1+x_2}{x}\right)<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \]

那么称 \(f(x)\) 在 \(I\)​ 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有

\[f\left(\dfrac{x_1+x_2}{x}\right)>\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \]

那么称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。

• 曲线凹凸的判定

设函数 \(y=f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内具有一阶和二阶导数，那么

（1）若在 \((a,b)\) 内 \(f''(x)>0\)，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的图形是凹的；

（2）若在 \((a,b)\) 内 \(f''(x)<0\)，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的图形是凸的；

一般的，设 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，\(x_0\) 是 \(I\) 内的点。如果曲线 \(y=f(x)\) 在经过点 \((x_0,f(x_0))\) 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点 \((x_0,f(x_0))\) 为这曲线的拐点。

不定积分

• 原函数的定义

如果在区间 \(I\) 上，可导函数 \(F(x)\) 的导函数为 \(f(x)\)，即对任一 \(x\in I\)，都有

\[F'(x)=f(x)\quad或\quad{\rm d}F(x)=f(x){\rm d}x \]

那么函数 \(F(x)\) 就称为 \(f(x)\)（或 \(f(x){\rm d}x\)）在区间 \(I\) 上的一个原函数。

• 原函数存在定理

如果函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，那么在区间 \(I\) 上存在可导函数 \(F(x)\)，使对任一 \(x\in I\) 都有

\[F'(x)=f(x) \]

简单来说就是：连续函数一定有原函数。

• 不定积分的定义

在区间 \(I\) 上，函数 \(f(x)\) 的带有任意常数项的原函数称为 \(f(x)\)（或 \(f(x){\rm d}x\)）在区间 \(I\) 上的不定积分，记作

\[\int f(x){\rm d}x \]

其中记号 \(\displaystyle{\int}\) 称为积分号，\(f(x)\) 称为被积函数，\(f(x){\rm d}x\) 称为被积表达式，\(x\) 称为积分变量。

由不定积分的定义，不难得到下述关系：

由于 \(\displaystyle{\int f(x){\rm d}x}\) 是 \(f(x)\) 的原函数，所以有

\[\dfrac{{\rm d}}{{\rm d}x}\left[\int f(x){\rm d}x\right]=f(x) \]

或

\[{\rm d}\left[\int f(x){\rm d}x\right]=f(x){\rm d}x \]

又由于 \(F(x)\) 是 \(F'(x)\) 的原函数，所以

\[\int F'(x){\rm d}x=F(x)+C \]

或

\[\int {\rm d}F(x)=F(x)+C \]

由此可见，微分运算和积分运算是互逆的，当 \(\displaystyle\int\) 和 \({\rm d}\) 连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数 \(C\)

• 基本积分表

\[\begin{aligned} \int k{\rm d}x&=kx+C\quad(k是常数)\\ \int x^\mu{\rm d}x&=\dfrac{x^{\mu+1}}{\mu +1}+C\quad(\mu\ne -1)\\ \int \dfrac{{\rm d}x}{x}&=\ln |x|+C\\ \int a^x{\rm d}x&=\dfrac{a^x}{\ln a}+C\\ \int e^x{\rm d}x&=e^x+C\\ \int \dfrac{{\rm d}x}{1+x^2}&=\arctan x+C\\ \int \dfrac{{\rm d}x}{\sqrt{1-x^2}}& =\arcsin x+C\\ \int\cos x{\rm d}x&=\sin x+C\\ \int \sin x{\rm d}x&=-\cos x+C\\ \int \dfrac{{\rm d}x}{\cos^2x}&=\int \sec^2x{\rm d}x=\tan x+C\\ \int \dfrac{{\rm d}x}{\sin^2x}&=\int \csc^2x{\rm d}x=-\cot x+C\\ \int \sec x\tan x{\rm d}x&=\sec x+C\\ \int \csc x\cot x{\rm d}x&=-\csc x+C\\ \end{aligned} \]

换元积分法

把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用变量的代换，得到渡河函数的积分法，称为换元积分法。

• 第一类换元法

设 \(f(u)\) 具有原函数 \(F(u)\)，即

\[f(u)=F'(u) \]

如果 \(u\) 是中间变量 \(u=\varphi(x)\)，且 \(\varphi(x)\) 可微，那么根据复合函数的微分法，可得

\[{\rm d}F(\varphi(x))=f[\varphi(x)]\varphi'(x){\rm d}x \]

从而根据不定积分的定义有

\[\int f[\varphi(x)]\varphi'(x){\rm d}x=F(\varphi(x))+C=\left[\int f(u){\rm d}u\right]_{u=\varphi(x)} \]

于是有如下定理：

设 \(f(u)\) 具有原函数，\(u=\varphi(x)\) 可导，则有换元公式

\[\int f[\varphi(x)]\varphi'(x){\rm d}x=\left[\int f(u){\rm d}u\right]_{u=\varphi(x)}\tag 1 \]

如何应用公式 \((1)\) 来求不定积分？设要求 \(\displaystyle\int g(x){\rm d}x\)，如果函数 \(g(x)\) 可以化为 \(g(x)=f[\varphi(x)]\varphi'(x)\) 的形式，那么

\[\int g(x){\rm d}x=\int f[\varphi(x)]\varphi'(x){\rm d}x=\left[\int f(u){\rm d}u\right]_{u=\varphi(x)} \]

这样，函数 \(g(x)\) 的积分就转化为了 \(f(u)\) 的积分，只需要求 \(f(u)\) 的原函数即可。

• 第二类换元法

适当的选择变量代换 \(x=\psi(t)\)，将积分 \(\displaystyle\int f(x){\rm d}x\) 化为积分 \(\displaystyle\int f[\psi(t)]\psi'(t){\rm d}t\)

成立的条件：

1. 等式右边的不定积分存在，即 \(f[\psi(t)]\psi'(t){\rm d}t\) 有原函数。
2. \(x=\psi(t)\) 的反函数存在且可导。

设 \(x=\psi(t)\) 是单调的可导函数，并且 \(\psi'(t)\ne 0\)，又设 \(f[\psi(t)]\psi'(t)\) 具有原函数，则有换元公式

\[\int f(x){\rm d}x=\left[\int f[\psi(t)]\psi'(t){\rm d}t \right]_{t=\psi^{-1}(x)} \]

其中 \(\psi^{-1}(x)\) 是 \(x=\psi(t)\) 的原函数。

分部积分法

设函数 \(u=u(x)\) 和 \(v=v(x)\) 具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为

\[(uv)'=u'v+uv' \]

移项，得

\[uv'=(uv)'-u'v \]

对两边分别求不定积分，得

\[\int uv'{\rm d}x=uv-\int u'v{\rm d}x \]

简便起见也记为

\[\int u{\rm d}v=uv-\int v{\rm d}u \]

定积分

• 定义

设函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界，在 \([a,b]\) 中任意插入若干个分点

\[a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b \]

把区间 \([a,b]\) 分成 \(n\) 个小区间

\[[x_0,x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_{n-1},x_n] \]

各个小区间的长度依次为

\[\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,\cdots,\Delta x_n=x_n-x_{n-1} \]

在每个小区间 \([x_{i-1},x_i]\) 上任取一点 \(\xi_i(x_{i-1}<\xi_i<x_i)\)，作函数值 \(f(\xi_i)\) 与小区间长度 \(\Delta x_i\) 的乘积 \(f(\xi_i)\Delta x_i\) 并作出和

\[S=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i \]

记 \(\lambda=\max\{\Delta x_i\}\)，如果当 \(\lambda\to 0\) 时，这和的极限总存在，且与闭区间 \([a,b]\) 的分法和点 \(\xi_i\) 的取法无关，那么称这个极限 \(I\) 为函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的定积分（简称积分），记作 \(\displaystyle\int_a^b f(x){\rm d}x\)，即

\[\int_a^bf(x){\rm d}x=I=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i \]

其中 \(f(x)\) 叫做被积函数，\(f(x){\rm d}x\) 叫做被积表达式，\(x\) 叫做积分变量，\(a\) 叫做积分下限，\(b\) 叫做积分上限，\([a,b]\) 叫做积分区间。

• 函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积的条件

两个充分条件：

设 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积。

设 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上有界，且只有有限个间断点，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积。

定积分的性质

补充规定：

（1）当 \(b=a\) 时，\(\displaystyle\int_a^af(x){\rm d}x=0\)

（2）当 \(a>b\) 时，\(\displaystyle\int_a^bf(x){\rm d}x=-\int_b^af(x){\rm d}x\)

1. 设 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 均为常数，则

\[\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]{\rm d}x=\alpha\int_a^bf(x){\rm d}x+\beta\int_a^bg(x){\rm d}x \]

2. 设 \(a<c<b\)，则

\[\int_a^bf(x){\rm d}x=\int_a^c f(x){\rm d}x+\int_c^bf(x){\rm d}x \]

3. 如果在区间 \([a,b]\) 上 \(f(x)\equiv 1\)，那么

\[\int_a^b 1{\rm d}x=\int _a^b {\rm d}x=b-a \]

4. 如果在区间 \([a,b]\) 上 \(f(x)\ge 0\)，那么

\[\int_a^b f(x){\rm d}x\ge 0 \]

推论1. 如果在区间 \([a,b]\) 上 \(f(x)\le g(x)\)，那么

\[\int_a^bf(x){\rm d}x\le \int_a^b g(x){\rm d}x\quad(a<b) \]

推论2. \(\displaystyle\left|\int_a^bf(x){\rm d}x\right|\le \int_a^b\left|f(x)\right|{\rm d}x\quad(a<b)\)

5. 设 \(M\) 和 \(m\) 分别是函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的最大值和最小值，则

\[m(b-a)\le \int_a^bf(x){\rm d}x\le M(b-a) \]

6. 定积分中值定理

如果函数 \(f(x)\) 在积分区间 \([a,b]\) 内连续，那么在 \([a,b]\) 上至少存在一个点 \(\xi\) 使下式成立：

\[\int_a^bf(x){\rm d}x=f(\xi)(b-a)\quad(a\le \xi\le b) \]

这个公式也被称为积分中值公式。

微积分基本公式

• 积分上限的函数及其导数

如果函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，那么积分上限的函数

\[\Phi(x)=\int_a^xf(t){\rm d}t \]

在 \([a,b]\) 上可导，并且它的导数

\[\Phi'(x)=\dfrac{{\rm d}}{{\rm d}x}\int_a^xf(t){\rm d}t=f(x)\quad(a\le x\le b) \]

这个定理指出了一个重要结论：连续函数 \(f(x)\) 取变上限 \(x\) 的定积分然后求导，其结果还原为 \(f(x)\) 本身，因此，我们引出如下的原函数存在定理。

如果函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，那么函数

\[\Phi(x)=\int_a^xf(t){\rm d}t \]

就是 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的一个原函数。

• 牛顿 — 莱布尼茨公式（微积分基本定理）

如果函数 \(F(x)\) 是连续函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的一个原函数，那么

\[\int_a^bf(x){\rm d}x=F(b)-F(a) \]

证明如下：

已知函数 \(F(x)\) 是连续函数 \(f(x)\) 的一个原函数，又根据如上定理知，积分上限的函数

\[\Phi(x)=\int_a^xf(t){\rm d}t \]

也是 \(f(x)\) 的一个原函数，所以这两个原函数之差在 \([a,b]\) 上是常数 \(C\)，即

\[F(x)-\Phi(x)=C\quad(a\le x\le b) \]

在上式中令 \(x=a\)，得 \(F(a)-\Phi(a)=C\)，代入 \(\Phi(a)\) 的定义式可知 \(\Phi(a)=0\)，因此 \(C=F(a)\)，再代入上式中的 \(C\) 可得

\[\int_a^xf(t){\rm d}t=F(x)-F(a) \]

令 \(x=b\) 即得证。

为了方便起见，把 \(F(b)-F(a)\) 记作 \([F(x)]_a^b\)，于是上式也可写成

\[\int_a^bf(x){\rm d}x=[F(x)]_a^b \]

定理中的公式叫做牛顿 — 莱布尼茨公式，也叫做微积分基本公式。

它进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系，它表明：一个连续函数在区间 \([a,b]\) 上的定积分等于它任何一个原函数在区间 \([a,b]\) 上的增量。这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算手续。

• 积分中值定理

若函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则在开区间 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\) 使

\[\int_a^bf(x){\rm d}x=f(\xi)(b-a)\quad(a<\xi<b) \]

证明时根据牛顿 — 莱布尼茨公式和微分中值定理即可。

定积分的换元法

假设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，函数 \(x=\varphi(t)\) 满足条件：

（1）\(\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b\)

（2）\(\varphi(t)\) 在 \([\alpha,\beta]\,(或\,[\beta,\alpha])\) 上具有连续导数，且其值域 \(R_\varphi=[a,b]\) （或超出 \([a,b]\) 但仍满足其他条件，且 \(f(x)\) 在 \(R_\varphi\) 上连续），则有

\[\int_a^bf(x){\rm d}x=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t){\rm d}t \]

也就是说，定积分中的 \({\rm d}x\) 在一定条件下也可以看作微分记号来对待，从而应用换元公式求解定积分。

定积分的分部积分法

依据不定积分的分部积分法，可得

\[\begin{aligned} &\int_a^bu(x)v'(x){\rm d}x\\ =&\left[\int u(x)v'(x){\rm d}x \right]_a^b\\ =&\left[u(x)v(x)-\int v(x)u'(x){\rm d}x \right]_a^b\\ =&[u(x)v(x) ]_a^b-\int_a^bv(x)u'(x){\rm d}x\\ \end{aligned} \]

简记作

\[\int_a^buv'{\rm d}x=[uv]_a^b-\int_a^bvu'{\rm d}x \]

或

\[\int_a^bu{\rm d}v=[uv]_a^b-\int_a^bv{\rm d}u \]