常用统计数字特征及解析工具

母函数

母函数定义

考虑只取非负值的离散型随机分布,如二项分布,泊松分布,几何分布等,称之为整值随机变量。而有一种变换方法比较适于变换,即母函数法。

对于整值随机变量 \(\xi\) ,根据佚名统计学家公式,定义母函数为 \(P(s)=Es^{\xi}=\sum_{k=0}^\infty p_ks^k\) ,当 \(|s|\le1\)时,\(P(s)\) 一致收敛且绝对收敛,所以母函数对任何整值随机变量都存在。

二项分布母函数: \(P(s)=(q+ps)^n\)

泊松分布母函数: \(P(s)=e^{\lambda s}e^{-\lambda}=e^{\lambda(s-1)}\)

几何分布母函数: \(P(s)=\frac{ps}{1-qs}\)

母函数的性质

  • 唯一性:母函数能唯一确定分布列

  • 母函数与数值特征相关

    因为,\(P(s)=\sum_{k=0}^\infty p_ks^k\) ,可以推得\(P'(s)=\sum_{k=1}^\infty kp_ks^{k-1}\)\(P''(s)=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)p_ks^{k-2}\)

    所以,当数学期望和方差存在的时候,可以知道 \(E\xi=P'(1)\),而\(E(\xi(\xi-1))=E(\xi^2)-E\xi=P''(1)\)

    推得\(D\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=E(\xi(\xi-1))+E\xi-(E\xi)^2=P''(1)+P'(1)-(P'(1))^2\)

    所以,利用母函数可以更为简单直接的求整值随机变量的数字特征。

  • 独立随机变量和的母函数

    考虑随机变量和的母函数,根据整值随机变量的定义我们可以知道,计算随机变量 \(\zeta=\xi+\eta\)时,(分别对应于分布\(\{c_k\},\{a_k\},\{b_k\}\))有\(c_r=\sum_{i=0}^ra_ib_{r-i}\),这个实际上给出了卷积的从统计角度上的理解。既然是卷积,我们知道多项式乘法的计算过程也是利用卷积,所以通过母函数,我们可以把随机变量和的概率分布求解转化成多项式乘法,即\(C(s)=A(s)B(s)\)。两个独立随机变量之和的母函数是这两个随机变量母函数的乘积,而母函数和分布是一一对应的,从而可以间接求出分布。

    结论可以推广到n个独立整值随机变量之和的场合。

  • 随机个随机变量之和的母函数

    考虑一组独立同分布的随机变量\(\{\xi_n\}\),母函数为\(F(s)=\sum_{j=0}^\infty f_js^j\),和与之独立的正值随机变量\(v\) ,母函数为\(G(s)=\sum_{n=0}^\infty g_ns^n\) ,考虑 \(\eta = \sum_{i=1}^v \xi_i\),即随机个随机变量之和的分布。

    \(\eta\)的母函数为\(H(s)=\sum_{i=0}^\infty h_is^i\) ,所以有

    \[\begin{split} h_i &= P\{\eta=i\} = \sum_{n=1}^\infty P\{v=n\}P\{\eta=i|v=n\}\\ &= \sum_{n=1}^\infty P\{v=n\}P\{ \sum_{i=1}^n \xi_i|v=n\}\\ &= \sum_{n=1}^\infty P\{v=n\}P\{ \sum_{i=1}^n \xi_i\} \end{split} \]

    而随机变量\(\{\xi_n\}\)独立同分布,所以有

    \[\begin{split} H(s)&=\sum_{i=0}^\infty h_is^i\\ &= \sum_{n=1}^\infty P\{v=n\}P\{ \sum_{i=1}^n \xi_i\}s^i\\ &= \sum_{n=1}^\infty P\{v=n\}[F(s)]^n\\ &= G[F(s)] \end{split} \]

    即随机个随机变量之和的母函数是原来两个母函数的复合。

    考虑应用:由于 \(H'(s)=G'[F(s)]F'(s)\)\(s=1\)可以求得,\(E\eta=Ev E\xi_i\)

posted @ 2017-11-27 11:40  Blueprintf  阅读(464)  评论(0编辑  收藏