2025 暑假代码源集训

2025/7/21 - 贪心构造交互思维

Code

CodeChef MINORPATH - Minimum OR Path

很典的按位贪心，将 ans 初始赋值为 \(2^{21}-1\)，从高位向低位枚举每一位是否能删去

CF1763C - Another Array Problem

显然若 \(n>3\) 则可以将所有最大值以外的数全部改为 \(0\)，那么答案一定是 \(n \times\max\{a_i\}\)

否则当 \(n\in \{1,2,3\}\)，可以直接暴力求每一种情况的 \(\max\)

CF2124E - Make it Zero

显然只有总和为奇数或最大值大于总和的一半才会无解。考虑 \(n=3\) 可以通过两次操作完成。于是可以找到一个 \(p\) 使得 \([1,p-1],[p,p],[p+1,n]\) 满足条件。直接计算即可

QOJ 12150 - AGI

如果存在两个区间包含或相离，则答案容易求出。否则任意两个区间都相交，按照左端点排序，奇数选外偶数选内，可以证明这样一定满足条件

Gym 105484B - Birthday Gift

太玄妙了。

将偶数位反转，则相同的条件变成不同，则答案为 \(|cnt_0-cnt_1|\)，将所有 \(2\) 平均的分给 \(0/1\) 即可

CF1153E - Serval and Snake

显然存在端点则返回答案为奇数，将每一列/行单独询问一定会得到两个奇数，对所在列/行二分即可，询问次数为 \(n-2+2\log n\)

P4064 - 加法

最小值最大显然二分答案，使用优先队列存区间左右端点，贪心地选取区间即可

HDU 6299 - Balanced Sequence

将每个字符串内部匹配，再贪心地将左括号更多的放在左边，右括号更多的放在右边，再次计算一遍匹配数

P2541 - Robotic Cow Herd P

先选中最小答案，如果有重复则向右移。对于每个状态使用优先队列存下，转移只有右移，下移，当前左移下一行右移三种方式，枚举转移即可

P1852 - 跳跳棋

考虑每个状态只有三种转移，即中间向左右跳以及离中间更近的向中间跳。类似二叉树，所以可以压缩路径求出 LCA 即为答案

2025/7/22 - 模拟赛 + 数据结构（1）

模拟赛

Code

CF1474C - Array Destruction

首先每次选取的两个数中一定有当前最大值，所以可以使用 multiset 存当前所有值，每次 find 是否能凑出上次选取的数，贪心选取即可

CF1237D - Balanced Playlist

因为最大值最小值可能连在一起出现，断环成链时要开三倍。然后很典使用单调队列维护当前最小最大值，统计答案时将序列分成若干最小值段计算即可

CF1237D - Balanced Playlist

使用 set 维护所有港口，发现修改操作类似覆盖一个等差数列，可以使用线段树维护，直接下传标记即可

HDU 6315 - Naive Operations

由于 \(b\) 是排列，\(a_i\) 每次只会增加 \(1\)，所以开线段树存当前余数的最小值与答案。若最小值是 \(1\)，则暴力向下更新，这样的次数不会超过 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{i}\)

P4587 - 神秘数

考虑升序向可重集中插入元素，如果当前值超过原来能加到的最大值则结束插入，否则最大值加上当前值。使用主席树模拟这个过程即可

P5268 - 一个简单的询问

显然一个询问可以拆成四个询问最后容斥，把所有 \(4q\) 个询问做一次莫队即可

2025/7/23 - 数据结构（2）

Code

CF1208D - Restore Permutation

简单树状数组二分。由于一定有解，求出当前前缀和等于 \(a_i\) 的位置即可

CF1690G - Count the Trains

开两个线段树，分别存推平后的速度和每个节点是否是火车头。对于每个询问二分修改的下标，在线段树上直接修改即可

CF1913D - Array Collapse

令 \(f_{i,0/1}\) 为考虑前 \(i\) 位是最后以为是否被删除的方案数。使用单调栈求出 \(i\) 位之前第一个小于 \(a_i\) 的数，转移方程容易得出

CF2000H - Ksyusha and the Loaded Set

使用 set 和权值线段树维护所有相邻两个数的差，询问时直接查询即可

CF1638E - Colorful Operations

开一个 tag 记录线段树节点中是否所有颜色均相同，在使用一个全局 tag 记录所有颜色加上的总和

P7706 - 文文的摄影布置

线段树存五个值:最大的 \(a_i\)，最小的 \(b_i\)，最大的 \(a_i-b_j(i<j)\)，最大的 \(a_k-b_j(j<k)\)，最大的 \(a_i-b_j+a_k\)。重载结构体加法后就是线段树板子

P6617 - 查找 Search

令 \(f_i=\displaystyle\min_{j>i,a_i+a_j=w}\{j\}\)，则询问变成：\(\displaystyle\min_{i=l}^{n}f_i\le r\)。使用 set 维护 \(f_i\)，使用线段树存后缀最小值即可

QOJ 6656 - 先人类的人类选别

将询问容斥一下，发现前缀查询类似于全局查询。于是开一个主席树和一个权值线段树即可解决

2025/7/25 - 模拟赛 + 数据结构（3）

模拟赛

Code

CF459D - Pashmak and Parmida's problem

\(f(1,i,a_i),f(j,n,a_j)\) 容易递推求出，然后直接树状数组求（类）逆序对即可

CF1849E - Max to the Right of Min

枚举 \(r\)，令 \(a_l=0/1\) 为 \([l,r]\) 是否满足条件。用单调栈维护比 \(a_i\) 大的位置与比 \(a_i\) 小的位置为 \(c_i\)。问题转变为区间 \(0/1\) 推平、区间求和，使用线段树维护即可

2025/7/26 - 字符串

Code

CF176B - Word Cut

首先如果能得到 \(T\) 串，就一定能通过一次操作得到。求出有多少位置操作后可以得到 \(T\)。令 \(dp_{i,0/1}\) 为 \(i\) 次操作后得到 \(T\) 和其他的方案数。答案为 \(dp_{k,0}\)，转移方程留给读者作课后习题

P4824 - Censoring S

存下 \(T\) 的哈希值，用栈维护当前的 \(S\) 前缀字符串和哈希值，每次插入字符时如果出现了 \(T\) 则直接退栈

CF1721E - Prefix Function Queries

KMP 自动机板子

CF898F - Restoring the Expression

如果令 base=10，哈希值的加法可以直接代表数字的加法。因为和的位数一定为两个加数位数的较大值或较大值加 \(1\)，所以可以枚举和的位数，用四种情况讨论加数位数的较大值。注意特判前导零即可

P8131 - Gene Folding

求出 manacher 数组后，令 \(l<r\) 为能删到的最右/左的左/右端点，答案为 \(\frac{r-l}{2}\)

P4696 - Matching

将 \(a\) 数组做哈希，用线段树实时更新当前枚举到的 \(b\) 数组子串的哈希值，开 vector 记录答案即可

CF1310C - Au Pont Rouge

递推求出任意两个后缀的 lcp，存下所有子串，二分答案。每次 dp 令 \(dp_{i,j}\) 为将从 \(i\) 开始的后缀分成 \(j\) 段的方案数，后缀和优化即可

CF873F - Forbidden Indices

将字符串翻转，则条件变成首位不能被 ban。求出字符串的 height 数组。用两个单调栈维护 \(h_i\) 在哪个区间内是最大/小值。注意需要特判出现一次的串

CF1202E - You Are Given Some Strings...

建两个 AC 自动机，存所有 \(s_i\) 和 \(\text{rev}(s_i)\)，令 \(a_i,b_i\) 为 \(t\) 的以 \(i\) 为端点前/后缀，即为 fail 树上节点到根的路径上有多少个 \(s_i\) 的结尾，答案为 \(\sum a_{i-1}b_i\)

2025/7/27 - 模拟赛 + dp（1）

模拟赛

Code

CF1849D - Array Painting

考虑 dp。令 \(dp_{i,j = 0/1/2}\) 为染完前 \(i\) 位，且此时 \(a_i=j\) 的最小花费。令 \(f_i\) 位第 \(i\) 位之前第一个 \(0\)。转移式子：

\[\begin{array} \\ dp_{i,a_i}=\min(dp_{i-1,0}+1,dp_{i-1,1},dp_{i-1,2}) \\ dp_{i,a_i-1}=\min(dp_{f_i-1,0},dp_{f_i-1,1},dp_{f_i-1,2})+1 \end{array} \]

CF1458B - Glass Half Spilled

令 \(dp_{i,j}\) 为考虑了 \(i\) 个杯子总容量为 \(j\) 的最大储存水量，转移方程为：\(dp_{i,j}=\max\{dp_{i-1,j-(a_i-b_i)+b_i}\}\)

CF1077F2 - Pictures with Kittens (hard version)

令 \(dp_{i,j}\) 考虑前 \(i\) 个数选了 \(j\) 个且一定选了 \(i\) 的最大值，转移方程为 \(dp_{i,j}=\max\{dp_{u,j-1}+a_i\}(p\in[i-k,i-1])\)。这个式子容易用单调队列优化

2025/7/29 - dp（2）

Code

CF1324E - Sleeping Schedule

设 \(dp_{i,j}\) 为考虑前 \(i\) 个数和取模 \(h\) 为 \(j\) 的方案数，直接暴力转移即可

CF2000F - Color Rows and Columns

设 \(dp_{i,j}\) 为考虑前 \(i\) 个矩形得到 \(j\) 分的最小花费。枚举当前矩形得了几分暴力转移即可

CF1557D - Ezzat and Grid

令 \(dp_{i}\) 为前 \(i\) 行最多选几行，转移需要使用线段树优化。因为要求输出方案，线段树还要存下最大值所在位置

CF780F - Axel and Marston in Bitland

设 \(dp_{w=0/1,k,i,j}=0/1\) 为是否存在从 \(i\) 到 \(j\) 长度为 \(2^k\) 且以 \(w\) 开头的路径。枚举转移点用 bitset 优化转移。倍增计算答案

QOJ 9879 - ReTravel

设 \(dp_{i,j}\) 为走完区间 \(i\sim j\) 所需的最小代价，将出发点设为 \((\min x_i,\min y_i)\)，枚举中间点转移即可

CF771D - Bear and Company

令 \(dp_{i,j,k,l=0/1}\) 为前缀中有 \(i\) 个 V，\(j\) 个 K，\(k\) 个其他字符，最后一个字符是不是 V 的最小移动数，直接暴力转移即可

CF331C3 - The Great Julya Calendar

设 \(dp_{mx, n}\) 为删过的高位最大值为 \(mx\)，当前数是 \(n\) 的最小步数。直接记忆化搜索转移即可

CF1601D - Difficult Mountain

笑点解析：dp（2）

直接贪心，对每个人以 \(\max(s, a),a\) 做双关键字排序，然后顺序模拟判断

CF311B - Cats Transport

斜率优化板子题。设 \(dp_{i,j}\) 为用了前 \(i\) 个人，带回了 \(j\) 只猫的最小等待时间。对猫的出发时间处理一下（具体看代码），套斜率优化板子即可

2025/7/30 - 模拟赛 + dp（3）

模拟赛

Code

CF1096D - Easy Problem

设 \(dp_{i,j}\) 为考虑前 \(i\) 个字符且不存在 \(\text{hard}\) 的前 \(j\) 个字符组成的子序列的最小歧义度。转移方程为：

\[\begin{array} \\ dp_{i,j}=dp_{i-1,j} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (s_i=ch_j) \\ dp_{i,j}=\min\{dp_{i-1,j}+a_i,dp_{i-1,j-1}\} \quad\ (s_i=ch_j) \end{array} \]

可以滚动掉第一维

CF1336C - Kaavi and Magic Spell

设 \(dp_{i,j}\) 为从 \(s_{1\sim j-i+1}\) 前后插入后存在前缀 \(t\) 或是 \(t\) 的前缀的方案数。转移方程留作课后习题

2025/7/31 - 组合数学（1）

Code

CF1436C - Binary Search

由于二分到某一个点的路径是固定的，所以按照题目给的伪代码模拟一遍存下有哪些位置需要大于/小于 \(x\)，计算排列数即可

P9306 - 进行一个排的重 (Minimum Version)

因为 \(p,q\) 是排列，每个数各不相同，如果两个排列中的 \(n\) 在同一个位置上，则把其放到第一位，答案为 2 (n-1)!，否则将其中的一个 \(n\) 放到第一位，最小值为 \(3\)。固定一位后计算 \(n\) 的另一边和另一个 \(n\) 有多少个数，求和

CF1696E - Placing Jinas

操作顺序显然是从上到下，从左到右一个一个清走，将图画出来可以发现就是一个旋转 \(45^\circ\) 的杨辉三角，直接使用上指标求和即可，答案为 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{{i+a_i}\choose{a_i-1}}\)

CF571A - Lengthening Sticks

考虑容斥。计算出总共有多少加长的方式，枚举最长边和加长的总长度，计算有多少无法形成三角形的情况，直接减去即可

CF1929F - Sasha and the Wedding Binary Search Tree

因为给定的树是二叉搜索树，其中序遍历一定单调不降。对于每一个连续的 \(-1\) 段计算有多少种方式使序列单调不降。注意值域为 \(10^9\)，组合数需要总和 \(O(n)\) 暴力求

CF1227F2 - Wrong Answer on test 233 (Hard Version)

连续两个答案相同的位置不用考虑，不会影响答案。令前后不同的位置有 \(x\) 个，枚举偏移后改对和改错的数量，可以得到能解决 F1 的式子 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{x}{x\choose i}\sum_{j=0}^{\min(i-1,x-i)}{x-i\choose j}(k-2)^{x-i-j}\)。于是考虑容斥，将答案初始值赋值为 \(k^n\)，这时枚举只需令改对和改错的数量相等，剩下的随便放即可

P7118 - Galgame

节点个数小于 \(n\) 的二叉树显然没有给定的树有趣，则答案为本质不同二叉树计数，即卡特兰数求和。再考虑节点个数相同的树，尝试递归求解，类似启发式合并的思路，我们只需要枚举大小较小的子树，左子树的答案可以直接累加，右子树需要容斥减去不合法的答案。左子树的答案需要乘有右子树的所有可能。

QOJ 9479 - And DNA

分类讨论，若 \(m=0\) 则答案为 \(1\)，若 \(m=1\)，则不能有连续的三个 \(1\) 或两个 \(0\) 出现，可以使用矩阵快速幂优化 dp 计算。对于大于 \(0\) 的偶数，则数组中奇偶性全部一致，即 F(m)=F(m/2)+F(m/2-1)。若 \(m\) 为大于 \(1\) 的奇数，则二进制加法下无进位，即 F(m)=F(1)*F(m/2)

2025/8/2 - 模拟赛 + 组合数学（3）

模拟赛

Code

CF1795D - Triangle Coloring

显然染色方式只有 \(1\) 黑 \(2\) 白和 \(1\) 白 \(2\) 黑，所以基础染色方式有 \(\displaystyle{\frac{n}{3}\choose\frac{n}{6}}\)。再考虑环内的选择方式，如果三边相等，答案需要乘 \(3\)；如果较小的两边相等，答案需要乘 \(2\)；其它情况都只需要乘 \(1\)

CF1207D - Number Of Permutations

考虑容斥，总方案数是 \(n!\)。分别按照两维排序，求出满足一个数组非递减的方案。再求出两个数组均非递减的方案即可

CodeChef SEQGOODNESS - Sum of Goodness

考虑计算贡献，对于每个数计算当前位置，前面 \(i-1\) 个位置，与后面所有位置的方案数相乘即可

CF1666F - Fancy Stack

将数组当作排列计算，最后答案除以 \(\prod cnt_i!\) 即可。令 \(dp_{i,j}\) 为前 \(i\) 个数，选了 \(j\) 块作为偶数层的方案数。直接前缀和优化转移即可

Yukicoder 2206 - Popcount Sum 2

将询问离线，发现当 \(n,m\) 增减 \(1\) 时答案的变化量是好维护的，于是直接莫队

CF1924D - Balanced Subsequences

格路计数板子，答案即为 \({n+m\choose k}-{n+m\choose k+1}\)