笔记——数学（总）

蓝月的笔记——数学篇

Part 0 前言

组合数学篇

数论篇

本篇也有可能出现组合数学或数论内容，作者懒得分类就直接写这里了

Part 1 矩阵

定义一个 \(n\) 行 \(m\) 列的矩阵 \(A\) 为：

\[A=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,m} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,m} \\ \end{bmatrix} \]

一般情况下，默认 \(a_{i,j}\) 中 \(i\in[1,n],j\in[1,m],a_{i,j}\in\mathbb{R}\)

为了方便，后文中用大写字母表示矩阵，其对应的小写字母表示矩阵内元素。例如 \(D\) 矩阵中元素用 \(d_{i,j}\) 表示，\(n_D,m_D\) 为矩阵大小

矩阵加法

只有大小相等的矩阵才能相加，即当且仅当 \(n_A=n_B,m_A=m_B\) 时有：

\[(A+B)_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j} \]

矩阵数乘

令 \(c\in\mathbb{R}\)，\((cA)_{i,j}=c\times a_{i,j}\)

矩阵减法

当且仅当 \(n_A=n_B,m_A=m_B\) 时有：

\[A-B=A+(-1B) \]

矩阵乘法

定义很奇怪，但在题目中应用很广

当且仅当 \(m_A=n_B\) 时可以计算 \(C=AB\)，得到 \(n_C=n_A,m_C=m_B\)

\[c_{i,j}=\displaystyle\sum_{k=1}^{m_A}a_{i,k}\times b_{k,j} \]

单位矩阵

定义 \(n\) 阶单位矩阵 \(I_n\) 为：\(n_{I_n}=m_{I_n}=n,i_{j,k}=[j=k]\)，其中 \([]\) 为艾弗森括号，即 \([a]=\begin{cases}1 & a\;\text{is true}\\0& a\;\text{is false}\end{cases}\)

单位矩阵是矩阵乘法的单位元

矩阵快速幂

就是矩阵的快速幂，只有 \(n_A=m_A\) 的矩阵才可以求幂

首先将答案初始值赋值为 \(I_{n_A}\)，再按照普通快速幂的方式求即可