同余，欧拉函数，逆元

\(a \equiv b \pmod{n}\) 可以推出 n | a - b

由\(a \equiv b \pmod{n}\) 和 \(a \equiv b \pmod{m}\) 可以推出 ：\(a \equiv b \pmod{[a, b]}\)

\((k, m) = d,ka \equiv ka^` \pmod{m}\) 可以推出\(a \equiv a^` \pmod{m / d}\)

简化剩余系：

所有的n满足\(0 < n \le m,(n, m) = 1\)构成一个模m的简化剩余系，记这样的n的个数为\(\phi(m)\)

\[\phi(m) = m \prod_{p|m}{1 - \frac{1}{p}} \]

欧拉定理：\((a, m) = 1, a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m\)

费马小定理：\(a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}\) 已经被欧拉定理覆盖

逆元：存在\((a, m) = 1,ax \equiv 1 \pmod {m}\) 则称\(x\)是\(a\)的逆元

求逆元的过程：

\[a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p} \\ a * a^{p - 2} \equiv 1 \pmod{p} \\ a^{p - 2} \equiv a ^{-1} \pmod{p} \]

即求a逆元就是求\(a\)的逆元就是求\(a^{p - 2}\) （快速幂）

求1到n的逆元 ： \(inv[i] = (p - p / i) * inv[p\ mod\ i] \ mod \ p\)