概率

概率

\(\Omega \quad 样本空间 \\ \omega \quad 试验结果(点或元素) \\ A \quad 事件(\Omega的子集)\)

对于两两不相交的集合序列\(集合序列A_1,A_2,...,\),若\(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i=\Omega,则A_1,A_2,...为\Omega的一个划分。\)

\(给定事件A，定义A的示性函数为I_A（\omega)=I(\omega\in A)=\begin{cases}1 , \omega属于A\\ 0 ，\omega不属于A\end{cases}\)

$集合序列A_1,A_2,...,满足A_1\subset A_2\subset \cdots,则称该集合序列为单调递增序列，\
其极限定义为\lim_{n \to +\infty}A_n=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i $

概率的连续性:如果\(A_n \to A,则当n \to \infty时，P(A_n)\to P(A)\)

贝叶斯理论

全概率法则：\(令A_1,A_2,\cdots,A_k是\Omega的一个划分，则对任意事件B，P(B) = \sum_{i=1}^kP(B|A_i)P(A_i)\)
贝叶斯定理: \(令A_1,A_2,\cdots,A_k是\Omega的一个划分，对每一个P（A_i)>0,如果P(B)>0,则对i=1,\cdots,k有\\ P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_jP(B|A_j)P(A_j)}\)
通常称\(P(A_i)为A的先验概率，P(A_i|B)为A的后验概率\)