BZOJ2142: 礼物（拓展lucas）

Description

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E
心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人
，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某
个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。

Input

输入的第一行包含一个正整数P，表示模；
第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；
以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。

Output

若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。

Sample Input

100
4 2
1
2

Sample Output

12

解题思路：

这道题就是组合数取模终极版。

很显然要求的就是：

数据范围好像不是很大。

拓展lucas没跑了。

大概思路就是：先将取模数拆分，求出各部分的解，使用中国剩余定理合并答案。

中国剩余定理我就不说了。

这里主要讲一下拓展lucas。

将组合数展开：

这里主要有两个问题需要解决

1.n 太大，一锅煮不下，直接枚举会超时。

2.n 比取模数大时会变成0下面本来有抵消的都没了。

我们一个一个看。

怎么计算n!呢？

我们暴力吧。

我们先看第二个吧。

先说第二个。

既然是抵消了，那么为何不让它先约掉呢。

很显然，将最小质因数p的幂次项提取出就可以完成任务。

也就是说，在处理阶乘时，跳过幂次项。

就是将原式化简成这样：

就解决了。

回来看第一个。

既然要跳过p的次幂，那么就都提出来发现剩余项是前pk以内的数的次幂。

提出来的项可以递归操作。

差不多就是这样了。

我也不知道这和lucas有啥关系

代码：

  1 #include<cstdio>
  2 #include<cstring>
  3 #include<algorithm>
  4 typedef long long lnt;
  5 lnt prime[100000];
  6 lnt picie[100000];
  7 lnt tmp[100000];
  8 lnt w[100000];
  9 lnt n,m;
 10 int cnt;
 11 lnt qucp(lnt a,lnt b,lnt c)
 12 {
 13     lnt ans=1;
 14     while(b)
 15     {
 16         if(b&1)
 17             ans=ans*a%c;
 18         a=a*a%c;
 19         b=b/2;
 20     }
 21     return ans%c;
 22 }
 23 void exgcd(lnt a,lnt b,lnt &x,lnt &y)
 24 {
 25     if(!b)
 26     {
 27         x=1;
 28         y=0;
 29         return ;
 30     }
 31     exgcd(b,a%b,y,x);
 32     y-=a/b*x;
 33     return ;
 34 }
 35 lnt Inv(lnt x,lnt mod)
 36 {
 37     lnt a;
 38     lnt b;
 39     exgcd(x,mod,a,b);
 40     return (a%mod+mod)%mod;
 41 }
 42 lnt Crt(lnt num,lnt *ans,lnt *mod)
 43 {
 44     lnt ret=0;
 45     lnt mdl=1;
 46     for(int i=1;i<=num;i++)
 47         mdl*=mod[i];
 48     for(int i=1;i<=num;i++)
 49     {
 50         lnt x=mdl/mod[i];
 51         ret=(ret+x*Inv(x,mod[i])%mdl*ans[i]%mdl)%mdl;
 52     }
 53     return ret;
 54 }
 55 lnt fac(lnt len,lnt pi,lnt pk)
 56 {
 57     if(!len)
 58         return 1;
 59     lnt ans=1;
 60     for(int i=2;i<=pk;i++)
 61         if(i%pi)
 62             ans=ans*i%pk;
 63     ans=qucp(ans,len/pk,pk);
 64     for(int i=2;i<=len%pk;i++)
 65         if(i%pi)
 66             ans=ans*i%pk;
 67     return ans*fac(len/pi,pi,pk)%pk;            
 68 }
 69 lnt Exlucas(lnt n,lnt m,lnt plc)
 70 {
 71     if(m>n)
 72         return 0;
 73     lnt fan=fac(n,prime[plc],picie[plc]);
 74     lnt fam=fac(m,prime[plc],picie[plc]);
 75     lnt fad=fac(n-m,prime[plc],picie[plc]);
 76     lnt ans=fan*Inv(fam,picie[plc])%picie[plc]*Inv(fad,picie[plc])%picie[plc];
 77     lnt c=0;
 78     for(int i=n;i;i/=prime[plc])
 79         c+=i/prime[plc];
 80     for(int i=m;i;i/=prime[plc])
 81         c-=i/prime[plc];
 82     for(int i=n-m;i;i/=prime[plc])
 83         c-=i/prime[plc];
 84     return ans*qucp(prime[plc],c,picie[plc])%picie[plc];
 85 }
 86 void brkdn(lnt P)
 87 {
 88     for(int i=2;i*i<=P;i++)
 89     {
 90         if(P%i==0)
 91         {
 92             cnt++;
 93             prime[cnt]=i;
 94             picie[cnt]=1;
 95             while(P%i==0)
 96             {
 97                 picie[cnt]*=(lnt)(i);
 98                 P/=i;
 99             }
100         }
101     }
102     if(P!=1)
103     {
104         cnt++;
105         picie[cnt]=prime[cnt]=P;
106     }
107     return ;
108 }
109 int main()
110 {
111     lnt Mod;
112     scanf("%lld",&Mod);
113     brkdn(Mod);
114     scanf("%lld%lld",&n,&m);
115     lnt sum=0;
116     lnt ans=1;
117     for(int i=1;i<=m;i++)
118     {
119         scanf("%lld",&w[i]);
120         sum+=w[i];
121     }
122     if(sum>n)
123     {
124         puts("Impossible");
125         return 0;
126     }
127     for(int i=1;i<=m;i++)
128     {
129         for(int j=1;j<=cnt;j++)
130             tmp[j]=Exlucas(n,w[i],j);
131         ans=ans*Crt(cnt,tmp,picie)%Mod;
132         n-=w[i];
133     }
134     printf("%lld\n",ans);
135     return 0;
136 }

 

posted @ 2018-09-27 10:08  Unstoppable728  阅读(181)  评论(0)  编辑  收藏  举报